7.1 行波
若干定义：波动（扰动的传播）、行波（可以传播的扰动），脉冲（一次扰动），脉冲波（脉冲的传播）
分类：横波（运动方向与传播方向垂直）、纵波（运动方向与传播方向在同一直线）
地震预报：纵波波速快破坏力小，横波波速慢破坏力大。（纵波比横波快）
特点：各质元只在平衡位置附近振动，没有沿传播方向迁移；各个质元频率相同，初相不同。
机械波产生条件：波元和弹性介质（固液气）。
电磁波（光）传播无需任何弹性介质。
7.2 简谐波
简谐波：最简单的波，可以叠加合成任何复杂波。
简谐横波
简谐横波特点：
- 有明显波峰波谷
- 各质元受到左右侧质元竖直方向内力作用（剪切形变，切应变）：，质元形状从正方形变为平行四边形。
- 前面的质元对其有向上力作用，后面的质元对其有向下力作用
- 质元变形越大，则说明剪切力作用越大。
- 平衡位置处质元形变最大，位移最大处质元无形变。
物理量 波速：单位时间波传播距离，用矢量 $\boldsymbol{u}$ 表示。
波速只与介质性质相关，与振动强弱无关。（如声速在空气、水传播速度一样）
简谐纵波
简谐纵波特点：
- 各质元受到左右侧质元水平方向内力作用（线性形变，线变，正应变），质元形状从正方形变为长方形
- 前面的质元对其有向前力作用，后面的质元对其有后下力作用
- 质元变形越大（变宽或变窄），则说明水平力作用越大。
- 平衡位置处质元形变最大（包括疏部变宽、密部变窄），位移最大处质元无变形（正方形）。
波函数
波函数：位移 $\boldsymbol{y}$ 随平衡位置和时间 $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{t}$ （两个参数）的表达式为波函数。
计算逻辑：与波源距离决定时间差，时间差决定相位差，相位决定质元位移。
若波源的振动函数为 $y = A \cos (\omega t)$，对于与波源距离为 $\boldsymbol{x}$，相位差为（负数表示落后） $\Delta \varphi = - \omega \Delta t = - \omega \frac{\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{u}}$，因此波源方程为
$$y = y(x,t) = A \cos\left[ \omega\left(t - \frac{x}{u}\right)\right]$$
相关定义：振幅 $A$、振动角频率 $\omega$，相位 $\varphi(x,t) = \omega (t - \dfrac{x}{u})$。
观察相位移动：$x = u\left(t - \dfrac{\varphi}{\omega}\right)$，则 $\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt} = u$，因此波速又称相速度（某一个相在波中单位直线向前传播的距离）。
简谐波的周期性
时间上：所有质元都做简谐运动，在运动具有周期性，周期为 $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$，频率为 $\nu = T^{-1} = \dfrac{\omega}{2 \pi}$
空间上：间距为波长整数倍的质元做完全相同运动，$\lambda = \dfrac{2 \pi u}{\omega} = uT$，波速 $u = \lambda \nu = \dfrac{\lambda}{T}$。
波形曲线
当 $t$ 固定，则 $y$ 对 $x$ 的函数称为波形曲线。
$$y(x) = A \cos (\omega t - \dfrac{2\pi}{\lambda} x)$$
波数：$2 \pi$ 距离内完整波形的个数 $k = \dfrac{2\pi}{\lambda}$。
（类比：当 $x$ 固定，则 $y$ 对 $t$ 的函数称为某一质元的振动曲线。振动区间加传播方向可以求出波函数）
波函数的另外两种形式：
$$y = A\cos(\omega t - kx)$$
$$y = A \cos 2\pi\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right)$$
波函数的确定（常考、重点）
波函数的写法有四种。
我们需要根据题目条件求出 $A,\omega, u, \varphi_0$，而 $\omega, \nu, T$ 可以相互推导，$k, \lambda$ 可以相互推动。
复习时要整理波函数的各种表示方式，物理量的推导！
其他简谐波
平面简谐波：介质中，若整个平面做简谐运动，那么就会产生平面简谐波。
相关定义：同相面（波面），波线（代表传播方向的直线）。
球面波：点波源的同相面为波面，称为球面波（例子：水的涟漪）
7.3 物体的弹性形变
定义：形变（外力使形状和体积发生变化）、弹性形变（可恢复）、塑性形变（不可恢复）、弹性限度（弹性形变最大外力限度）。
线变
固体棒的拉伸，受到沿轴方向的外力，长度发生改变。
相关定义：应力 $\sigma = \dfrac{F}{S}$，线应变 $\epsilon = \dfrac{\Delta l}{l}$
胡克定律：弹性限度内，$\dfrac{F}{S} = E\dfrac{\Delta l}{l}$，或 $\sigma = E \epsilon$，或 $F = \dfrac{ES}{l} \Delta l = k \Delta l$，其中 $\dfrac{ES}{l} = k$ 为劲度系数。
杨氏模量：$E$，由材料本身决定
弹性势能：$\displaystyle W_p = \frac{1}{2} k(\Delta l)^2 = \frac{1}{2} \frac{ES}{l} (\Delta l)^2 = \frac{1}{2} ESl \left( \frac{\Delta l}{l} \right)^2$，那么单位体积的弹性势能为 $\displaystyle w_p = \frac{1}{2} E \left( \frac{\Delta l}{l} \right)^2$
剪切形变
剪应力：$\sigma = \dfrac{F}{S}$，剪应变 $\varphi = \dfrac{\Delta d}{D}$。
胡克定律：弹性限度内，$\dfrac{F}{S} = G \varphi = G \dfrac{\Delta d}{D} = \dfrac{G}{D} \Delta d= k\Delta d$。
其中 $G$ 称为剪切模量。
杨氏模量大约是剪切模量的两倍。
单位体积的弹性势能：$\displaystyle w_p = \frac{1}{2} G \left( \frac{\Delta d}{D} \right)^2$.
体变
物质受到压强改变时体积改变。
体应变：物质受到周围的压强改变的时候，体积的相对变化称为体应变。$\displaystyle \Delta p = - K \frac{\Delta V}{V}$，其中 $K$ 为体弹模量，和物质种类有关。
体弹模量的导数就是压缩率：$\displaystyle \kappa = \frac{1}{K} = - \frac{1}{V} \frac{\Delta V}{\Delta p}$。
单位体积内的弹性势能：$\displaystyle w_p = \frac{1}{2} K \left( \frac{\Delta V}{V} \right)^2$
7.4 弹性介质中的波速
波是由各质元弹性力作用形成。
影响因素（定性）：弹性模量越大，波速越大。密度越大，惯性越大，波速越大。
细棒横波波速
（忽略大量推导）
$$u = \sqrt{\frac{G}{\rho}}$$
剪切模量越大，密度越小，横波波速越快。
细棒纵波波速
（忽略大量推导）
$$u = \sqrt{\frac{E}{\rho}}$$
杨氏模量越大，密度越小，纵波波速越快。
体应变（纵波）波速
（忽略大量推导）
$$u = \sqrt{\frac{K}{\rho}} = \sqrt{\frac{\gamma p}{\rho}} = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$$
体弹模量越大，密度越小，纵波波速越快。
温度越大，波速越快。
7.5 波的能量
对质元能量的推导（记忆公式）
质元波动具有动能（有速度）和弹性势能（形变）
对波函数进行求导可得
$$v = \frac{\partial y}{\partial t} = - \omega A \sin [\omega (t - \frac{x}{u})]$$
那么动能为
$$\Delta W_k = \frac{1}{2}\rho \Delta V v^2 = \frac{1}{2} \rho \Delta V \omega^2 A^2 \sin^2 [\omega (t - \frac{x}{u})]$$
剪应变为
$$\gamma = \frac{\partial y}{\partial x} = - \frac{\omega A}{u} \sin [\omega (t - \frac{x}{u})]$$
弹性势能为
$$\Delta W_p = \frac{1}{2} G\gamma^2\Delta V = \frac{1}{2} G\Delta V \frac{\omega^2 A^2}{u^2} \sin^2 [\omega (t - \frac{x}{u})] = \frac{1}{2} \rho \Delta V \omega^2 A^2 \sin^2 [\omega (t - \frac{x}{u})]$$
每个主元的动能等于弹性势能，同相地随时间变换，任意时刻都相等。总能量为
$$\Delta W = \Delta W_k + \Delta W_p = \rho \Delta V \omega^2 A^2 \sin^2 [\omega (t - \frac{x}{u})]$$
与波动能量的区别
振动：
- 能量储存在弹簧里，是孤立系统，总机械能守恒。
- 振动的外力只有回复力（保守力），动能和弹性势能相互转化。
波动：
- 能量储存在质元当中，质元能量会互相传递。
- 波动中质元的外力是两侧质元对其的剪力的合力，该差值会使得质元的动能增加，而抵消的部分会是动能的势能增加，因此使得动能和势能变化的力是不同的。
- 动能和弹性势能时刻相等，同时增加或减少。在位移为零时能辆达到最大值，在位移为最大值时能量变为最小值。
关于能量的其他物理量
对于不同的物理量进行平均会生成不同的物理量。
波的能量密度：介质单位体积内的能量，单位 $J · m^{-3}$
$$w = \frac{\Delta W}{\Delta V} = \rho \omega^2 A^2 \sin^2 [\omega (t - \frac{x}{u})]$$
平均能量密度：一个周期内能量密度的平均值
$$\overline w = \frac{1}{T} \int_0^T \rho \Delta V \omega^2 A^2 \sin^2 [\omega (t - \frac{x}{u})] \mathrm dt = \frac{1}{2} \rho \omega^2 A^2 = 2 \pi^2 \rho A^2 v^2$$
能流：单位时间通过截面的能量。（可以类比于电流：单位时间通过截面的电荷数）
先设 $\mathrm dt$，然后最后再除以 $\mathrm dt$。
$$\mathrm dW = w \mathrm dV = wSu\mathrm dt$$
$$P = \frac{\mathrm dW}{\mathrm dt} = wSu = \rho \omega^2 A^2 \sin^2 [\omega (t - \frac{x}{u})]·Su$$
平均能流：
$$\overline P = \frac{\mathrm d\overline W}{\mathrm dt} = \overline wSu = \frac{1}{2} \rho \omega^2 A^2·Su$$
波的强度：单位时间，通过单位面积的能量，简称波强，单位 $J·s^{-1}·m^{-2}$.
$$I = \frac{\overline P}{S} = \overline wu = \frac{1}{2} \rho \omega^2 A^2u$$
波的能量守恒
推导
根据能量守恒，一个周期内通过两个截面 $S_1, S_2$ 能量相等，因此有
$$I_1S_1T = I_2S_2T$$
$$\frac{1}{2} \rho \omega^2 A_1^2u S_1T = \frac{1}{2} \rho \omega^2 A_2^2u S_2T$$
$$A_1^2 S_1 = A_2^2 S_2 $$
若 $S_1 = S_2$，则 $A_1 = A_2$，那么在均匀的不吸收能量的介质中，平面波的振幅保持不变。
球面波的能量守恒
由于球面波中距离波源 $r$ 的球面面积为 $S = 4 \pi r^2$，因此代入上式得到，振幅与距离成反比。
$$A_1r_1 = A_2r_2$$
球面简谐波的波函数为
$$y(r,t) = \frac{A}{r} = \cos[\omega(t - \frac{r}{u}) + \varphi]$$
波的吸收
由于介质要吸收波的一部分能量，因此任何波动都会沿着传播方向衰减，波的能量变为介质的内能，这种现象称为波的吸收。
7.6 惠更斯原理与波的反射和折射
与波的传播的若干概念
波线：代表传播方向的直线（波线相互平行）
波面：同相振动的质元组成的面。（波面相互平行，波面与波线垂直）
波前：最前方的质元组成的面
惠更斯原理
惠更斯原理：各向同性的介质的波前各点，可以看做是发射子波的波源。
特点：子波的包迹面仍然是同心球面，新的波前形状没有发生改变，只不过半径（大小）变大。
波的衍射
波遇到小孔或者障碍物的时候，会绕过几何阴影传播，这种现象叫做衍射。
特点：当小孔或小障碍物的尺寸接近或小于波长的时候，衍射的现象明显，反之则不明显。
对于小孔：当孔很小的时候，通过孔的点可看做发射子波的波源，我们只看到这个球面波。而孔很大的时候，有一系列点可以继续传播，而衍射的球面波就相对而言不明显。
对于小障碍物：当障碍物很小的时候，衍射可以很快合并，从而让波的传播近似没有区别。而障碍物很大的时候，衍射的范围很小，需要传播很久才能合并，让波的传播类似于直线传播。
光的波长大概是几百纳米，而声音的波长可以到几分米，因此光的衍射不明显，声音的衍射非常明显。
波的反射与折射
波的反射定律：均匀各向同性介质，波传播到界面，此时入射角等于反射角。
波的折射定律：均匀各向同性介质，波从介质 1 传播到介质 2，那么有
$$\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{u_1}{u_2} = n_{21}$$
波在介质中的传播速度越大，则折射中角的大小（交的正弦值）越大。
一般介质相对于真空或空气的折射率 $n_{21} = \dfrac{c}{u}> 1$.
全反射：当波从传播速度小的介质折射到传播速度大的介质的时候，如果入射角足够大，将会发生全反射
$$\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{\sin A}{\sin 90^\circ} \Leftrightarrow A = \arcsin n_{21}$$
光从光密介质（光速慢）传播到光疏介质（光速快）的时候才会有临界角。
应用：光纤、X光导管。
7.7 波的叠加 驻波
波的叠加
波的叠加原理：几列波在同一位置时，质元位移是各波的位移合成。
波的传播的独立性：几列波相遇前和相遇后，各波保持各自的特点，就像没有相遇过一样。
应用：收音机的解频的合理性。
只有当波的强度较小的时候，波的叠加原理才成立。
波的干涉
同介质，在两个点波源发出同初相同频率的球面波，那么对于某个位置：
- 到两波源距离的差值为 $|r_1 - r_2| = k \lambda$，或者相位差为 $2k\pi$，那么两波在该定点相干加强或相长。
- 到两波源距离的差值为 $|r_1 - r_2| = \dfrac{2k-1}{2} \lambda$，或者相位差为 $\dfrac{2k+1}{2}\pi$ 那么两波在该定点相干减弱或相消。
波的叠加现象：双缝干涉、薄膜干涉、牛顿环、迈克尔逊干涉仪。
驻波
同一介质，两列频率、振动方向、振幅相同的简谐波，但传播方向共线且反向的叠加结果为驻波。驻波看起来不向左也不向右移动。
$$\begin{aligned} y(x,t) &= y_1(x,t) + y_2(x,t) \\ &= A\cos[\omega(t-\frac{x}{u})] + A\cos[\omega(t+\frac{x}{u})] \\ &= 2A \cos(\frac{2\pi}{\lambda} x)\cos(\omega t) \end{aligned}$$
每一点的振幅为 $|2A \cos(\frac{2\pi}{\lambda} x)|$，每一点以不同的振幅在各自平衡位置附近做简谐运动。
当 $x = \frac{k\lambda}{2}$，那么 $A(x) = 2A$ 达到最大值，称为波腹。当 $x = \frac{(2k+1)\lambda}{4}$，那么 $A(x) = 0$ 达到最小值值，称为波节。振幅循环长度等于原波长的 $\frac{1}{2}$。
同一段内各质点振幅不同，但相位时刻相同。相邻两段相对相反。
7.8 声波
声压
可闻声波频率在 $20 \sim 20000 \operatorname{Hz}$.
声压：声波传播时的压力与无声波时的静压力之差：$\displaystyle \Delta p = - K \frac{\Delta V}{V}$