一般转动惯量计算公式
对于离散质点系：
$$J = \sum_i \Delta m_i \boldsymbol{r}_i^2$$
对于刚体
$$J = \int r^2 \mathrm dm$$
在实际中需要把 $\mathrm dm$ 转换成其他的量，例如
- 线密度；$\mathrm dm = \lambda \mathrm dl$
- 面密度：$\mathrm dm = \sigma \mathrm dS$
- 体密度：$\mathrm dm = \rho \mathrm dV$
- 如果密度不均匀，要把外面的密度放到 $\mathrm d $ 里面。
单位：$kg·m^2$
转动惯量与总质量、质量分布均有关。
典型例子：
- 圆盘对圆心的转动惯量：取半径差为 $\mathrm dr$ 的薄圆环，则 $\mathrm dm = \rho 2 \pi r \mathrm dr, J = \int_a^b r^2 \rho 2 \pi r \mathrm dr$
- 细棒对某一点的转动惯量：取长为 $\mathrm dx$ 的单位元，则 $\mathrm dm = \rho_l \mathrm dx, J = \int_a^b x^2 \rho_l \mathrm dx$
转动惯量的平行轴定理
平行轴定理：设 $OC$ 为过质心 $C$ 的转轴，过 $O’$ 有另一转轴与 $OC$ 平行，且相距为 $OO’ = d$，那么刚体绕 $O’$ 转动的转动惯量为
$$J = J_c + md^2$$
证明：
$$\begin{aligned} J &= \int \boldsymbol{r}_i^2 \mathrm dm \\ &= \int (\boldsymbol{r}_{ci} + \boldsymbol{d})^2 \mathrm dm \\ &= \int (\boldsymbol{r}_{ci}^2 + 2\boldsymbol{r}_{ci}\boldsymbol{d} + \boldsymbol{d}^2) \mathrm dm \\ &= J_c + md^2 + 2 \boldsymbol{d} \int \boldsymbol{r}_{ci} \mathrm dm \\ \end{aligned}$$
由质心的定义得到 $\int \boldsymbol{r}_{ci} \mathrm dm = 0$，故原定理得证。
推论：同一质点系，过质心的转动惯量最小。
常见刚体的转动惯量
需要记忆！！！
- 细杆绕一端：$J = \frac{1}{3} mL^2$
- 细杆绕中点：$J = \frac{1}{12} mL^2$
- 薄圆环（薄圆筒）绕中心轴：$J = mR^2$
- 圆盘（圆柱体）绕中心轴：$J = \frac{1}{2} mR^2$
- 薄球壳绕直径：$J = \frac{2}{3} mR^2$
- 球体绕直径：$J = \frac{2}{5} mR^2$
球绕直径
方法 1：球坐标系 $(r,\theta,\varphi)$
$$\mathrm dm =\frac{m}{\frac{4}{3} \pi R^3}\ \mathrm dV$$
$$\mathrm dV = \mathrm dr · r\mathrm d\varphi · r\sin \varphi \mathrm d\theta = r^2 \sin \varphi \mathrm d \theta \mathrm d r \mathrm d \varphi$$
求 $\int d^2 \mathrm dm = \frac{2}{5} mR^2$（三重积分）
方法 2：直角坐标系
$$\mathrm dm =\frac{m}{\frac{4}{3} \pi R^3}\ \mathrm dV$$
$$\mathrm dV = \pi r^2 \mathrm dz$$
套用薄圆盘的转动惯量公式
$$\mathrm dJ = \frac{1}{2} r^2 \mathrm dm$$
$$J = \int \mathrm dJ = \frac{2}{5} mR^2$$
薄球壳绕直径
方法 1：直角坐标系
取与转轴垂直的薄圆带。
$$\mathrm dm = \sigma \mathrm dS = \frac{m}{4\pi R^2} \mathrm dS$$
$$\mathrm dS = 2 \pi r \mathrm dl = 2 \pi R \mathrm dz$$
$$r = \sqrt{R^2 - z^2}$$
$$J = \int r^2 \mathrm dm$$
方法 2：球坐标系
转动惯量的计算思路和技巧
降维处理
用与转轴垂直的平面去截物体。计算每个截面的转动惯量再做积分。若每个截面都一样，则可以直接降维。
坐标系
直角坐标、极坐标、柱坐标、球坐标。
- 直角坐标系：$\mathrm dS = \mathrm dx \mathrm dy$, $\mathrm dV = \mathrm dx \mathrm dy\mathrm dz$
- 柱坐标：$\mathrm dV = \mathrm dx·r\mathrm d\varphi·\mathrm dz$
转轴选取
可以选一个好求的转轴，再使用平行轴定理。
$\mathrm dm$ 的转换
先将 $\mathrm dm$ 转换为 $\mathrm dl, \mathrm dS, \mathrm dV$，然后再把 $\mathrm dl, \mathrm dS, \mathrm dV$ 用坐标轴微分量表示 $\mathrm dx, \mathrm dy, \mathrm d\theta$ 等等。
对于复杂几何体
- 可以把复杂几何体分解成若干个基本几何体，计算过各自质心的转动惯量，然后再使用平行轴定理相加（减） / 积分即可。