角动量守恒定律

角动量守恒定律：在惯性系中，若质点所受合外力矩为 $\boldsymbol{0}$，那么该质点对于顶点的角动量保持不变。

$$\boldsymbol{M} = \boldsymbol{0} \Leftrightarrow \boldsymbol{L} = const$$

要知道角动量是否守恒，就要知道合外力矩是否为零，从而需要知道合外力的情况。

常见的角动量守恒的运动

  • 匀速圆周运动：合外力为向心力，与位矢反向平行，故合外力矩为 $\boldsymbol{0}$，质点对于圆心有角动量守恒。

  • 匀速直线运动：合外力为 $\boldsymbol{0}$，合外力矩为 $\boldsymbol{0}$，角动量守恒。

  • 行星运动：由于引力方向总是与行星相对恒星的位矢反向平行，因此行星受到的引力对太阳的力矩为 $\boldsymbol{0}$，故角动量守恒。

    $$L = mrv\sin \alpha = mr \left| \frac{\mathrm d S}{\mathrm d t} \right| \sin \alpha = m \lim_{\Delta t \to 0} \frac{r |\Delta r| \sin \alpha}{\Delta t} = 2m \frac{\mathrm dS}{\mathrm dt}$$

    其中 $\frac{\mathrm dS}{\mathrm dt}$ 被称为行星运动的掠面速度。由于行星相对恒星角动量守恒，因此掠面速度保持不变，故得出以下定律：

    开普勒第二定律：行星对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积。

  • 椭圆运动：对某一个焦点角动量守恒。

  • 有心力场（万有引力、库仑力）中的运动：质点所受合外力始终指向空间的某一个点（太阳质心、库仑力），则质点对该点的角动量一定守恒。