力的冲量

  • $\boldsymbol{F}\mathrm dt$：无穷小时间间隔内的冲量；
  • $\displaystyle \boldsymbol{I} = \int_{t_1}^{t_2} \boldsymbol{F}\mathrm dt$：有限长时间间隔内的冲量。

注意：有力就有冲量，冲量的产生不需要位移。

动量定理

微分形式：

$$\boldsymbol{F}\mathrm dt = \mathrm dp$$

积分形式：

$$\int_{t_1}^{t_2} \boldsymbol{F}\mathrm dt = \int_{\boldsymbol{p_1}}^{\boldsymbol{p_2}} \mathrm d\boldsymbol{p} = \boldsymbol{p_2} - \boldsymbol{p_1}$$

短时间内的冲力作用（$\boldsymbol{\overline F}$ 是平均冲力）：

$$\boldsymbol{\overline F} \Delta t = \Delta \boldsymbol{p}$$

功与冲量的区别

质点系的动量定理

质点系的动量定理：系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量

$$\sum_i \boldsymbol{F_i}\mathrm dt = \mathrm d\left( \sum_i \boldsymbol{p}_i \right) = d \left( \sum_i m_i \boldsymbol{v}_i \right)$$

证明：

设第 $i$ 个质点的所受其他质点的内力为 $\boldsymbol{f}_i$，那么对第 $i$ 个质点的动量定理有

$$(\boldsymbol{F}_i + \boldsymbol{f}_i)\mathrm dt = \mathrm d \boldsymbol{p}_i$$

对整个系统就有

$$\sum_i (\boldsymbol{F}_i + \boldsymbol{f}_i)\mathrm dt = \sum_i \mathrm d \boldsymbol{p}_i$$

由牛顿第三定律知，系统内各质点间内力之和为 $\boldsymbol{0}$，因此

$$\sum_i \boldsymbol{f_i} \mathrm dt = \boldsymbol{0}$$ 因此

$$\sum_i \boldsymbol{F}_i\mathrm dt = \sum_i \mathrm d \boldsymbol{p}_i = \mathrm d \left ( \sum_i \boldsymbol{p}_i \right)$$