圆周运动的速度

速率（线速度） ：圆周运动的速率。是一个标量。

$$v = \frac{\mathrm ds}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm d (R \theta)}{\mathrm dt} = R \frac{\mathrm d \theta}{\mathrm dt}$$

角速度：角速度的大小为

$$\omega = \frac{\mathrm d\theta}{\mathrm d t}$$

方向，满足以下右手螺旋法则：$\boldsymbol{v} = \boldsymbol{R} \times \boldsymbol{\omega}$

单位 $rad/s$ 或 $s^{-1}$

周期：

$$T = \frac{2 \pi}{\omega}$$

圆周运动的加速度

切向加速度 $\boldsymbol{a_t}$

方向：和质点运动方向一致。

大小：

$$a_t = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \frac{|\Delta v|}{\Delta t} = \frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}$$

  • $a_t > 0$：加速圆周运动；
  • $a_t < 0$：减速圆周运动；
  • $a_t = 0$：匀速圆周运动；
  • $a_t = \text{const}$：匀变速圆周运动。

角加速度 $\boldsymbol{\alpha}$

角加速度：$\boldsymbol{\alpha} = \frac{\mathrm d \boldsymbol \omega}{\mathrm dt}$。单位 $\text{rad}/s^2$ 或 $1 / s^2$。

方向和角速度变化量一致，大小是角速度对时间的导数。

相似地，由

$$\boldsymbol{a_t} = \frac{\mathrm d\boldsymbol{v}}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm d(\boldsymbol{R} \times \boldsymbol{\omega})} {\mathrm dt} = \boldsymbol{R} \times \frac{\mathrm d\boldsymbol{\omega}}{\mathrm dt}$$

得到

$$\boldsymbol{a_t} = \boldsymbol{R \times \alpha}$$

匀角加速度圆周运动公式：

$$\begin{aligned} \omega &= \omega_0 + \alpha t \\ \theta &= \theta_0 + \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2 \\ \omega^2 &= \omega^2 + 2\alpha (\theta - \theta_0) \\ \end{aligned}$$

法向加速度 $\boldsymbol{a_n}$

方向：指向圆心。

大小：

设 $\Delta t$ 时间内，设质点从 $B$ 运动到 $C$，，我们将 $\boldsymbol{v}(t + \Delta t)$ 与 $\boldsymbol{v}$ 的起点重叠。产生一对相似三角形：

$$\frac{|(\Delta \boldsymbol{v})_n|}{v} = \frac{\left|\overrightarrow{BC}\right|}{R}$$

则

$$a_n = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{|(\Delta \boldsymbol{v})_n|}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\left|\overrightarrow{BC}\right|·v}{R\Delta t} = \frac{v^2}{R}$$

那么

$$a_n = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$$

综上，圆周运动的总加速度 为

$$\begin{aligned} \boldsymbol{a} = \boldsymbol{a_n} + \boldsymbol{a_t} \\ a = \sqrt{a_n^2 + a_t^2} \end{aligned}$$

$\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{v}$ 的夹角 $\beta$

$$\beta = \arctan \frac{a_n}{a_t}$$

$\beta \in [0, \pi]$，锐角时速率增加，直角时速率不变，钝角时速率减小。

注意点：

  • 圆周运动总有法向加速度，直线运动的法向加速度为 $\boldsymbol{0}$.
  • 对于平面任意曲线运动，令曲率半径 $\rho = \frac{\mathrm ds}{\mathrm d\theta}$ 即可。