位矢

位矢（也称位置矢量、径矢）：从原点指向质点位置的有向线段，同时也是位置坐标。

质点的运动函数 / 方程：

  • 位矢式：$\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(t)$

  • 坐标形式 / 分量式：$x = x(t), y = y(t), z = z(t)$.

以 $\boldsymbol{i,j,k}$ 为三个单位矢量，则

$$\boldsymbol{r}(t) = x(t)\boldsymbol{i} + y(t)\boldsymbol{j} + z(t)\boldsymbol{k}$$

$$r = |\boldsymbol{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$

三个分量式消去参数 $t$，可得轨迹方程。

位移

位移的定义

位移（位移矢量）：一段时间内位置的改变（位矢的改变）。 $$\Delta \boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(t + \Delta t) - \boldsymbol{r} (t)$$

而 $\Delta r = \Delta |\boldsymbol{r}|$，是指一段时间内位矢长度（到原点距离）的改变。

两种量的模的对比：

  • 位移的模：$|\Delta \boldsymbol{r}| = |\boldsymbol{r}(t + \Delta t) - \boldsymbol{r} (t)| = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$
  • 位矢差的模：$\Delta r = \Delta |\boldsymbol{r}| = \sqrt{x’^2 + y’^2 + z’^2} - \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
  • 当 $\Delta \boldsymbol{r}$ 的反向延长线过原点时，$|\Delta \boldsymbol{r}| = \Delta r$；当 $\Delta \boldsymbol{r}$ 的延长线过原点时，$|\Delta \boldsymbol{r}| = - \Delta r$；

位移的特点

  • 位移与路径无关，只由始末位置决定。 位移等于末位矢减去初位矢。
  • 位移反映了运动的矢量性和叠加性。 总位移等于各段分位移之和。
  • 位移与参考点的关系：
    • 当新参考点与原来相对静止时，唯一不变；
    • 当新参考点在 $\Delta t$ 时间内与原参考点位移为 $\Delta \boldsymbol{d}$，那么新位移为 $\Delta \boldsymbol{r’} = \Delta \boldsymbol{r} - \Delta \boldsymbol{d}$.
    • 特别地，当 $\Delta \boldsymbol{d} = \Delta \boldsymbol{r}$，时，新位移 $\boldsymbol{r’} = \boldsymbol{0}$.

速度

平均速度： $\overline{\boldsymbol{v}} = \frac{\Delta \boldsymbol{r}}{t} = \frac{\Delta x}{\Delta t} \boldsymbol{i} + \frac{\Delta y}{\Delta t} \boldsymbol{j} + \frac{\Delta z}{\Delta t} \boldsymbol{k}$.

平均速度大小：$|\overline{\boldsymbol{v}}| = \sqrt{\frac{\Delta x}{\Delta t} + \frac{\Delta y}{\Delta t} + \frac{\Delta z}{\Delta t}}$.

瞬时速度（速度）：$\boldsymbol{v} = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \boldsymbol{r}}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r} }{\mathrm{d} t}$.

对 $\Delta, \mathrm{d}$ 的区分：$\Delta x$ 表示 $x$ 的变化量，可大可小；$\mathrm{d}$ 表示微分，是无穷小量，$\Delta x \to 0 = \mathrm{d} x$。

瞬时速度的方向：沿着该时刻质点所在运动轨道的切线，指向运动的前方。

瞬时速度的分解：

$$\boldsymbol{v} = \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r} }{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d} (x \boldsymbol{i} + y \boldsymbol{j} + z \boldsymbol{k}) }{\mathrm{d} t} = v_x \boldsymbol{i} + v_y \boldsymbol{j} + v_z \boldsymbol{k} = \boldsymbol{v_x} + \boldsymbol{v_y} + \boldsymbol{v_z}$$

质点的速度是各分速度的矢量和。（微分的可加性）

速度单位：$m/s, km/h$

瞬时速率（速率）：表示速度的大小。

$$v = |\boldsymbol{v}| = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \left|\frac{\Delta \boldsymbol{r}}{\Delta t}\right| = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \frac{\left|\Delta \boldsymbol{r}\right|}{\Delta t} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$$

若 $v$ 为负，常用于直线运动，表示反方向运动，此时已经是矢量。

路程 $\Delta s$：在 $\Delta t$ 时间内质点沿轨道经过的程度（轨迹长度）。

路程 $\Delta s$ 与位移 $\Delta \boldsymbol{r}$ 的区别：

  • 路程是标量，无方向，与中间过程有关。
  • 位移是矢量，有方向，只与始末点有关，与中间过程无关。
  • $|\Delta \boldsymbol{r}| \le \Delta s$.
    • 位移的模是两点间最短的路程。
    • 当质点做方向不变的直线运动时，二者取等。
    • $\lim\limits_{\Delta t \to 0} \Delta s = |\Delta \boldsymbol{r}|$，或者 $\mathrm{d} s = |\mathrm{d} \boldsymbol{r}|$

瞬时速率等于路程、位移对时间的的导数：

$$v = |\boldsymbol{v}| = \frac{|\mathrm{d}\boldsymbol{r}|}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm d t}$$

平均速率：瞬时速率的平均值，路程与时间的比值。路程随时间的平均变化率。

$$\overline v = \int v \mathrm d t = \frac{\Delta s}{\Delta t}$$