洛伦兹力

  • 洛伦兹力：正离子 $m, +q, \boldsymbol v$ 进入垂直进入磁场 $\boldsymbol B$，那么受到洛伦兹力 $\boldsymbol F = qv \times \boldsymbol B$
  • 洛伦兹力与速度方向垂直而不改变大小，故做圆周运动：
    • $\displaystyle F = \frac{mv^2}{R} \Rightarrow R = \frac{mv}{qB} = \frac{p}{qB}$ 与粒子速度成正比
    • 回旋周期 $\displaystyle T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi m}{qB}$ 与粒子速度无关
    • 故常用回旋加速器加速带电粒子。
  • 当带电粒子速度不与磁场垂直，则做螺旋运动：
    • 垂直于磁场方向的圆周运动：$\displaystyle R = \frac{mv_{\perp}}{qB}$
    • 沿磁场方向的匀速直线运动，螺距 $\displaystyle h = v_{//}T = \frac{2 \pi m}{qB} v_{//}$
  • 磁聚焦：发散角不太大的带电离子束经过一个回旋周期后，这些粒子会重新聚焦于另一点。
  • 磁镜：设计非均匀磁场，使得粒子具有分速度而向强磁场螺旋前进时调转方向，发生反射。
  • 磁瓶：用两个电流方向相同的线圈产生中间弱两边强的磁场，使得带电粒子在两磁镜中来回运动而不能逃脱，形成磁约束。
    • 应用：受控热核反应约束高温等离子体、地磁场的范艾伦辐射带与极光现象。
  • 霍尔效应：在磁场的载流导体上出现横向电势差。
    • 金属窄条（高 $h$ 厚 $b$）中通横向电场 $\boldsymbol E$，若载流子为电子，则向下移动，产生竖直电场 $\boldsymbol E_H$，由 $-e \boldsymbol E_H + (-e)\boldsymbol v \times \boldsymbol B = 0$ 得 $E_H = vB$，电势差 $\displaystyle U_H = E_Hh = vBh = \frac{I}{nbhq}· Bh = \frac{IB}{nqb}$，顶部电势低于底部电势。
    • 若载流子带正电荷，则正电荷向下移动，顶部电势高于底部电势。

安培力

  • 安培力：载流导线受磁场的作用力：$\mathrm d\boldsymbol F = nS\mathrm dl q \boldsymbol v \times \boldsymbol B = I \mathrm d \boldsymbol l \times B$，那么 $\displaystyle \boldsymbol F = \int_L I\mathrm d\boldsymbol l \times \boldsymbol B$.
  • 在均匀磁场当中，$\displaystyle \boldsymbol F = I\left(\int_{L} \mathrm d\boldsymbol l\right)\times \boldsymbol B = I \boldsymbol l \times B$，其中 $\boldsymbol l$ 从起点连向终点。若导线闭合，则磁力为零。

磁力矩

  • 磁力矩：均匀磁场对载流线圈的磁力为零，而磁力矩为 $\boldsymbol M = S I \boldsymbol e_n \times \boldsymbol B = \boldsymbol m \times \boldsymbol B$，其中载流线圈磁偶极矩（磁矩）为 $\boldsymbol m = S I \boldsymbol e_n$。当 $\boldsymbol m // \boldsymbol B$ 时， $\boldsymbol M = 0$.
  • 磁矩在均匀电场中的转动势能：由 $\displaystyle A = \int_{\theta_1}^{\theta_2} M \mathrm d \theta = \int_{\theta_1}^{\theta_2} mB\sin \theta \mathrm d \theta = mB(\cos\theta_1 - \cos \theta_2)$，故定义磁矩势能 $W_m = -\boldsymbol m · \boldsymbol B$。当 $\boldsymbol m // \boldsymbol B$ 时，势能有最小值 $-mB$，当磁矩与磁场反平行时，势能有最大值 $mB$.
  • 磁力矩公式与电力矩公式相同，磁矩势能与电矩势能形式也相同。

平行载流导线相互作用力

  • 对于两根平行长直导线，$I_1(I_2)$ 对 $I_2(I_1)$ 单位长度作用力为 $\displaystyle F = B_1I_2 = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}$，$I_1, I_2$ 方向相同时导线相吸，否则相斥。
  • 电流强度国际单位定义：相距 $1m$ 无限长的两条平行 $1A$ 电流导线，每米长度导线受力为 $2 \times 10^{-7} m$，从而可以推出：
    • $\displaystyle \mu_0 = \frac{2 \pi F d}{I^2} = 4 \pi \times 10^{-7} N/A^2 \approx 1.257 \times 10^{-7} N/A^2$
    • 电量单位定义：$1A$ 电流导线中，每秒通过导线横截面的电量为 $1C = 1A·s$
    • 真空电容率：$\displaystyle \epsilon_0 = \frac{1}{\mu_0 c^2} \approx 8.854 \times 10^{-12} F/m$