1.1 随机试验

随机试验的特点：

相同条件，重复进行
能明确所有可能结果，且不止一个
结果未知

1.2 样本空间、随机事件

样本点：每种结果

样本空间：所有样本点的集合

随机事件：随机试验的结果，用大写字母表示

随机事件是样本空间的一个子集。

样本空间是必然事件，空集是不可能事件，只含一个样本点的集合是基本事件。

【事件的关系可用集合语言表达】

相等 $A=B$

包含 $A\subset B$、和事件 $A\cup B$、积事件 $A\cap B$

差事件 $A - B$、逆事件/对立事件 $\overline{A}$、互不相容事件/互斥事件 $A \cap B = \emptyset$ 运算规律：交换律、结合律、分配律（和对积、积对和均可）、德摩根律

和、积可拓展到有限个或 可列个

1.3 频率与概率

频率 $\displaystyle f_n(A) = \frac{n_A}{n}$，频数为 $n_A$

概率 $P(A) = \displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n(A)$

概率的公理化定义：（公理，无需证明）

非负性：$0 \le P(A)$
规范性：$P(S) = 1$
可列可加性：无穷个两两互不相容事件 $\displaystyle P\left(\bigcup_{i = 1}^\infty A_i\right) = \sum_{i = 1}^\infty P(A_i)$

概率的性质：

不可能事件 $P(\emptyset) = 0$
- 证明：$P(\emptyset \cap \emptyset) = 2P(\emptyset) = P(\emptyset)$，因此 $P(\emptyset) = 0$
有限可加性：$n$ 个两两互不相容事件 $\displaystyle P\left(\bigcup_{i = 1}^n A_i\right) = \sum_{i = 1}^n P(A_i)$
- 证明：在可列可加性中，令后缀事件均为空集
若 $A\subset B$，则 $P(B) - P(A) = P(B-A), P(B)\ge P(A)$
- 证明：用 $A$ 和 $B-A$ 的可加性
$P(A) \le 1$
逆事件概率：$P(\overline A) = 1 - P(A)$
加法公式：$P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$
- 证明：$A \cup B = A \cap (B - AB)$，用可加性

1.4 等可能概型（古典概型）

等可能概型/古典概型的特点：

样本点数有限
基本事件可能性相同

$\displaystyle P(A) = \frac{k}{n} = \frac{\text{A包含的基本事件数}}{\text{基本事件总数}}$

古典概率常用排列组合计算

几何概型：

有无穷多个等可能结果的随机试验。
样本空间是某区域，实验结果落在度量相同的区域是等可能的
$\displaystyle P(A) = \frac{m(A)}{m(S)}$

1.5 条件概率

条件概率：$\displaystyle P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$，其中 $P(A) > 0$

对于古典概型问题，是容易理解的：$\displaystyle P(B|A) = \frac{AB 包含的基本事件数}{A 包含的基本事件数} = \frac{P(AB)}{P(A)}$

条件概率是一种概率，符合公理化定义：

对于所有条件概率 $P(·|A)$ 有

非负性：$P(B|A) \ge 0$
规范性：$P(S|A) = 1$
可列可加性：无穷个两两互不相容事件 $\displaystyle P\left(\left.\bigcup_{i = 1}^\infty A_i \right| A \right) = \sum_{i = 1}^\infty P(A_i | A)$

乘法公式：$P(AB) = P(A)P(B|A)$

推广：$P(ABC) = P(A)P(B|A)P(C|AB)$，依次类推

全概率公式：若 $S$ 能够划分成两两不相容的事件 $B_1, B_2, \cdots, B_n$，且 $P(B_i) > 0$，那么 $$P(A) = \sum_{i = 1}^n P(B_i)P(A|B_i)$$ 证明：利用有限可加性，以及乘法公式可以得出。

直观理解：$B_i$ 是导致 $A$ 的多种原因，那么 $A$ 是各个原因引起 $A$ 发生的概率之和。

贝叶斯公式：若 $S$ 能够划分成两两不相容的事件 $B_1, B_2, \cdots, B_n$，且 $P(B_i) > 0$，那么对于任意事件 $P(A) > 0$ 有 $$P(B_k | A) = \frac{P(B_kA)}{P(A)} = \frac{P(B_k)P(A|B_k)}{\displaystyle \sum_{i = 1}^n P(B_i)P(A|B_i)}$$ 理解：

$P(B_k)$ 是先验概率，是对其可能性的初始认识；
$P(B_k | A)$ 是后验概率，是知道新的信息后，对其可能性的重新估计。

1.6 独立性

独立：两事件相互独立，若 $P(AB) = P(A)P(B)$

理解：$\displaystyle P(A) = \frac{P(AB)}{P(B)} = P(A|B)$，即 $B$ 发生与否，对 $A$ 无影响，符合直觉。

对于四对事件 $A, B; A, \overline{B}; \overline{A}, B; \overline{A}, \overline{B}$，其中一对独立，其他三对都独立

可以用独立的定义来证明。

多事件两两独立：三事件两两独立，若 $\begin{cases}P(AB) = P(A)P(B) \\ P(AC) = P(A)P(C) \\ P(BC) = P(B)P(C) \end{cases}$.

多事件相互独立：三事件相互独立，若 $\begin{cases}P(AB) = P(A)P(B) \\ P(AC) = P(A)P(C) \\ P(BC) = P(B)P(C) \\ P(ABC) = P(A)P(B)P(C)\end{cases}$.

两两独立是相互独立的必要不充分条件。

$n$ 个事件相互独立，满足任意抽出子集事件，其积事件的概率都等于各事件的概率乘积。

1.1 随机试验#

1.2 样本空间、随机事件#

1.3 频率与概率#

1.4 等可能概型（古典概型）#

1.5 条件概率#

1.6 独立性#