1. Markov 不等式（马尔可夫）
若 $Y\ge 0$，且 $E(Y)<\infty$，则对任意 $a>0,\ P(Y\ge a)\le \frac{E(Y)}{a}$.
一行证明模板
$$ E(Y)=E\big(Y\mathbf 1_{Y\ge a}\big)+E\big(Y\mathbf 1_{Y<a}\big) \ge E\big(Y\mathbf 1_{Y\ge a}\big)\ge aP(Y\ge a). $$
变形招式
- $Y=(X-\mu)^2\ge 0$
- $Y=|X|^p\ge 0$
- $Y=e^{tX}\ge 0$（这会通往 Chernoff，但期末一般不深究）
2. Chebyshev 不等式（切比雪夫）
若 $E(X)=\mu$，$D(X)=\sigma^2<\infty$，则对任意 $\varepsilon>0$： $$ P(|X-\mu|\ge \varepsilon)\le \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}. $$
关键理解
它就是 Markov 在 $Y=(X-\mu)^2,\quad a=\varepsilon^2$ 上的直接应用：
$$ P(|X-\mu|\ge \varepsilon) = P\big((X-\mu)^2\ge \varepsilon^2\big) \le \frac{E[(X-\mu)^2]}{\varepsilon^2} = \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}. $$
弱大数定律
设 $X_1,\dots,X_n$ 独立同分布，$E(X_i)=\mu$，$D(X_i)=\sigma^2$， 则 $$ E(\bar X)=\mu,\qquad D(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n}. $$
用 Chebyshev 证明 LLN
$$ P(|\bar X-\mu|\ge \varepsilon)\le \frac{D(\bar X)}{\varepsilon^2} =\frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}\to 0. $$
最容易犯的 5 个坑
- Markov 的前提必须是非负：要么题目给 $X\ge0$，要么自己构造 $Y\ge0$（比如平方、绝对值、指数）。
- Chebyshev 必须方差有限（题目一般会给或默认）。
- 上界可以大于 1，不矛盾，只是很松。
- $P(|X-\mu|\ge \varepsilon)$ 用 Chebyshev；$P(X\ge a)$ 且非负用 Markov。
Conclusion
- Markov：$Y\ge0\Rightarrow P(Y\ge a)\le \frac{E(Y)}a$
- Chebyshev：$P(|X-\mu|\ge \varepsilon)=P((X-\mu)^2\ge \varepsilon^2)\le \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$
- LLN：$D(\bar X)=\sigma^2/n\Rightarrow P(|\bar X-\mu|\ge \varepsilon)\le \sigma^2/(n\varepsilon^2)\to0$