平面点集#
- 圆邻域 $O(P_0, \delta)$（$r(P_0, P) < \delta$）、方邻域 $K(P_0, \delta)$（$|x - x_0| < \delta, |y - y_0| < \delta$），二者可不加区别。空心圆邻域、空心方邻域
- 内点（存在邻域在集合内），外点（存在邻域在集合外），边界点（任意邻域在集合内外），聚点（任意空心邻域有集合内元素）。
- 开集（所有点都是内点），闭集（所有聚点都在集合内），区域（连通的开集），闭区域（连通且所有点是内点或边界点）
平面点列极限#
- 点列极限：$P_n \to P_n ( n \to \infty)$
- 点列有界：$r(P_n, O) \le M$
- 柯西收敛原理：平面点列收敛充要于充分大的两点足够接近 $r(P_n, P_m) < \epsilon$
- 致密性定理：平面点列有界，则点列有收敛子列（先对 $x$ 取一次收敛子列，然后再对该收敛子列对 $y$ 取一次收敛子列）
- 矩形套定理：平面相互包含闭矩形序列极限为唯一一点（对各维运用区间套定理）
- 有限覆盖定理：
多元函数#
- 多元函数 $f: E \to \mathbb R, (x, y) \to u = f(x, y)$，自变量，因变量，函数值，定义域，值域
- 几何表示：空间点集 ${(x, y, f(x, y))}$
- （全面）极限：$\epsilon - \delta$ 语言，$\displaystyle \lim_{P \to P_0} f(P) = A$ 或者 $\displaystyle \lim_{x \to x_0 \atop y \to y_0} f(x, y) = A$
- 计算极限时，放大函数与 $\sqrt{x^2 + y^2}$ 或者 $|x|, |y|$ 相关，便于放缩
- 若能找到两条路径收敛于同一点的点列函数极限不相等，则二元函数在该点极限不存在
- 海涅定理：$\displaystyle \lim_{P \to P_0} f(P) = A$ 充要于 $O^*(P_0, \delta)$ 中任意满足收敛于 $P_0$ 的点列函数极限为 $A$
- 极限运算法则
- 局部有界性、局部保号性、极限唯一性等
- 累次极限：$\displaystyle \lim_{y \to y_0} \lim_{x \to x_0} f(x, y)$ 或者 $\displaystyle \lim_{x \to x_0} \lim_{y \to y_0} f(x, y)$
- 全面极限和累次极限的存在性无特定关系。
- 若两种累次极限都存在但是不相等，则全面极限必然不存在；若函数全面极限和累次极限都存在，那么三者必然相等
- 连续性：$\displaystyle \lim_{P \to P_0} f(P) = f(P_0)$
- 连续函数四则运算法则、复合运算法则
- 有界性定理：有界闭集连续函数必有界（反证法，无界则有无限子列，但是有界闭集有收敛子列，其函数值是构成有限子列，矛盾）
- 最值定理：有界闭集连续函数有最大值和最小值
- 一致连续性定理：同一距离 $\delta$ 内任意两点函数中差距很小 $< \epsilon$
- 介值定理：区域连续函数内若有两点值为 $f(P_1), f(P_2)$，则区域内任意必存在其他点值在 $(f(P_1), f(P_2))$ 之间（两点连一条线，线上的点是连续的，转换成一维介值定理）