定义

无穷幂次多项式，特殊函数项级数

敛散性判定

  • 阿贝尔第一定理：幂级数在 $x_1$ 收敛，那么在 $|x| < |x_1|$ 收敛；在 $x_2$ 发散，则在 $|x| > |x_2|$ 发散（前者先将各项放缩 $\le M$，并乘以收敛的 $\sum (\frac{x}{x_1})^n$；后者用反证法转换成前者）
  • 幂级数收敛情况只有三种可能：全发散、全收敛、$(-r, r)$ 收敛（用阿贝尔第一定理，证明绝对值小于上确界的都收敛，反之则发散），需要特判 $-r, r$ 是否收敛
  • 若充分大相邻两项之比趋于 $\rho$，则收敛半径为 $r = \frac{1}{\rho}$（达朗贝尔判别法取极限，解方程）
  • 阿贝尔第二定理：若幂级数收敛半径为 $r$，则：
    • 对于所有 $0<b<r$，幂级数在 $[-b, b]$ 一致收敛（各项放缩 $\le |a_nb^n|$，M判别法）
    • 若在 $x = r$ 收敛，则幂级数在 $[0, r]$ 一致收敛（$\sum a_br^n(\frac{x}{r})^n$ 前面级数收敛，后面 $|\frac{x}{r}|^n \le 1$ 单调有界，阿贝尔判别法）
    • 若在 $x = -r$ 收敛，则幂级数在 $[-r, 0]$ 一致收敛（同上）
    • 不能说明 $(-r, r)$ 一致收敛

分析性质

  • 和函数连续：若幂级数收敛半径为 $r$，则
    • 和函数在 $(-r, r)$ 连续（所有 $0<b<r$ 在 $[-b, b]$ 一致收敛，则连续，由 $b$ 任意性则在 $(-r, r)$ 连续）
    • 若在 $x = r$ 收敛，和函数在 $[0, r]$ 连续（同上）
    • 若在 $x = -r$ 收敛，和函数在 $[-r, 0]$ 连续（同上）
  • 微商和微分：若幂级数收敛半径为 $r$，则
    • 逐项微商级数和逐项积分级数半径也为 $r$（对于逐项微商：设半径为 $r’$ 则 $|a_nx_0^n| \le r|na_nx_0^n|$，取 $|x_0| < R < r$ 则有 $\displaystyle \left|na_nx_0^{n - 1} \right| \le \left|\frac{nx_0^{n - 1}}{R_n}\right| · \left|a_nR^n\right| \le M\left|a_nR^n\right|$，故二者敛散性相同；对于逐项积分证明类似）
    • 幂级数微商等于逐项微商级数，幂级数微分等于逐项积分级数
    • 幂级数 $k$ 次微商等于逐项 $k$ 次微商级数，幂级数 $k$ 次微分等于逐项 $k$ 次积分级数

展开方法

  • 唯一性：若 $f(x)$ 可以在 $x = 0$ 展开成幂级数，那么必为麦克劳林级数 $\displaystyle a_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!}$（多次求微商令 $x = 0$ 求出各项系数）
  • 如果 $f(x)$ 可以无穷次可微，而构造出来的多项式不一定是幂级数（反例 $\displaystyle f(x)=\begin{cases}e^{-(\frac{1}{x})^2},&x\ne 0\\0,&x=0 \end{cases}$，那么 $a_k = 0$）
  • 如果 $f(x)$ 可以无穷次可微，且泰勒余项 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} R_n(x) = 0, \forall |x| < r$，那么 $f(x)$ 在 $(-r, r)$ 可以展开成麦克劳林幂级数
  • 如果各阶微商在 $(-r, r)$ 一致有界，那么 $f(x)$ 在 $(-r, r)$ 可以展开成麦克劳林幂级数（$\displaystyle\lim_{n \to \infty} R_n(x) \le \frac{|f^{(n + 1)}(\xi)|}{(n + 1)!}|x|^{n + 1} \le\frac{M}{(n + 1)!}|x|^{n + 1} \to 0$）
  • 初等函数麦克劳林级数：
    • $\displaystyle e^x = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!}$（任意阶微商一致有界）
    • $\displaystyle\sin x = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}, \cos x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$（任意阶微商一致有界）
    • $\displaystyle (1 + x)^\alpha = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{\alpha^{\underline{n}}x^n}{n!}\ (|x| < 1)$（余项柯西形式证明其收敛为 $0$）
    • $\displaystyle (1 - x)^{-1} = \sum_{n = 0}^{\infty} x^n\ (|x| < 1)$
    • $\displaystyle \ln(1 + x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n - 1} x^n}{n}\ (|x| < 1)$（用 $\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty} \int_0^x (-1)^n t^n \mathrm dt$ 得出，但要证明级数一致收敛，用阿贝尔第二定理，然后再证明端点 $x=1$ 连续）