变上限定积分可导
定理 7.10：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 可积，则 $\displaystyle G(x) = \int_a^x f(t) \mathrm dt$ 是 $[a,b]$ 的可导函数，且 $G’(x) = f(x), \forall x \in [a,b]$。
证明：
$$\frac{G(x + \Delta x) - G(x)}{\Delta x} = \frac{1}{\Delta x} \int_{x}^{x + \Delta x} f(t) \mathrm dt$$
由积分中值定理可知，$\exists \xi \in [x, x + \Delta x]$，使得
$$\int_{x}^{x + \Delta x} f(t) \mathrm dt = f(\xi) \Delta x$$
因此
$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{G(x + \Delta x) - G(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0} f(\xi) = f(x)$$
几何解释：变动的曲边梯形的面积变化率就是纵坐标。
该定理指出，任何连续函数都有原函数存在，其中一个原函数是 $f(x)$ 的变上限定积分。
微积分基本定理
微积分基本定理（1）：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 的任意一个原函数，则
$$\int_a^b f(x)\mathrm dx = F(b) - F(a)$$
证明：由于 $\displaystyle G(x) = \int_a^x f(t) \mathrm dt$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，因此
$$F(x) = G(x) + c$$
于是
$$\begin{aligned} F(b) - F(a) &= \left(\int_a^b f(t) \mathrm dt + c\right) - \left(\int_a^a f(t) \mathrm dt + c\right) \&= \int_a^b f(t)\mathrm dt \end{aligned}$$
微积分基本定理（2）：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，$F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 的任意一个原函数，则
$$\int_a^b f(x)\mathrm dx = F(b) - F(a)$$
证明：对于 $[a,b]$ 的任意分法：
$$a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$$
由微分中值定理可知， $\exists \xi_i \in [x_{i-1}, x_i]$，使得
$$\begin{aligned} &F(b) - F(a)\ =&\sum_{i = 1}^n (F(x_i) - F(x_{i-1}))\ =&\sum_{i = 1}^n f(\xi_i) \Delta x_i \end{aligned}$$
这刚好是 $\displaystyle \int_a^b f(x)\mathrm dx$ 的定义，我们令 $\displaystyle\lambda = \max_{1 \le i \le n} {\Delta x_i} \to 0$，那么有
$$F(b) - F(a) = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i = 1}^n f(\xi_i) \Delta x_i = \int_a^b f(x) \mathrm dx$$
微积分基本公式
微积分基本公式（牛顿——莱布尼兹 (Newton- Leibniz)公式）：
$$\left.\int_a^b f(x) \mathrm dx = F(x) \right\vert_a^b$$
其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的任意一个原函数。