线性代数 | 6.4 Gram-Schimidt 方法

【Gram-Schimidt 方法】：对于 $\mathbb R^n$ 子空间 $W$ 的一个基 $\{\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \cdots, \boldsymbol{x}_p\}$，我们构造等价的正交基 $\{\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_p\}$：

$$\begin{aligned} \boldsymbol{v}_1 &= \boldsymbol{x}_1 \\ \boldsymbol{v}_i &= \boldsymbol{x}_i - \sum_{j = 1}^{i - 1} \operatorname{proj}_{\boldsymbol{v}_j} \boldsymbol{x}_i\\ \end{aligned}$$

正交基中每个基都除以它的长度，即可得到标准正交基。

【QR 分解】：若 $m \times n$ 矩阵 $A$ 各列线性无关，则 $A$ 可以分解为 $A = QR$。其中 $Q$ 是 $m \times n$ 的矩阵，各列形成 $\operatorname{Col} A$ 的标准正交基，$R$ 是 $n\times n$ 上三角可逆矩阵，且对角线上的元素是正数。

本质：用正交基表示某一个基。