线性变换的矩阵

我们接下来会研究两个向量空间之间的线性变换。

对于 $n$ 维向量空间 $V$ 和 $m$ 维向量空间 $W$，$T$ 是 $V$ 到 $W$ 的线性变换，我们需要定义并找出 $T$ 的标准矩阵。

若 $V$ 的基为 $\mathcal B = \{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_n\}$，$W$ 的基为 $\mathcal C = \{\boldsymbol{c}_1, \boldsymbol{c}_2, \cdots, \boldsymbol{c}_n\}$，对于 $\boldsymbol{x} \in V$，若 $\boldsymbol{x} = r_1 \boldsymbol{b}_1 + r_2 \boldsymbol{b}_2 + \cdots + r_n \boldsymbol{b}_n$，那么

$$T(\boldsymbol{x}) = T(r_1 \boldsymbol{b}_1 + r_2 \boldsymbol{b}_2 + \cdots + r_n \boldsymbol{b}_n) = r_1 T(\boldsymbol{b}_1) + r_2 T(\boldsymbol{b}_1) + \cdots + r_n T(\boldsymbol{b}_n)$$

因此

$$\begin{aligned} [T(\boldsymbol{x})]_{\mathcal C} &= r_1 [T(\boldsymbol{b}_1)]_\mathcal C + r_2 [T(\boldsymbol{b}_2)]_\mathcal C + \cdots + r_n [T(\boldsymbol{b}_n)]_\mathcal C \\ &= \left[ \begin{matrix} [T(\boldsymbol{b}_1)]_\mathcal C & [T(\boldsymbol{b}_2)]_\mathcal C & \cdots & [T(\boldsymbol{b}_n)]_\mathcal C \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} r_1 \\ r_2 \\ \vdots \\ r_n \end{matrix} \right] \\ &= M [\boldsymbol{x}]_\mathcal B \end{aligned}$$

线性变换相对于两个基的矩阵：对于两个向量空间 $V,W$，它的基是 $\mathcal B, \mathcal C$，那么从 $V$ 到 $W$ 的线性变换 $T$ 相对于基 $\mathcal B, \mathcal C$ 的矩阵为

$$M = \left[ \begin{matrix} [T(\boldsymbol{b}_1)]_\mathcal C & [T(\boldsymbol{b}_2)]_\mathcal C & \cdots & [T(\boldsymbol{b}_n)]_\mathcal C \end{matrix} \right]$$

那么 $T$ 对 $\boldsymbol{x}$ 的作用，我们已知 $[\boldsymbol{x}]_\mathcal B$，那么作用后的坐标为

$$[T(\boldsymbol{x})]_\mathcal C = M [\boldsymbol{x}]_\mathcal B$$

$V$ 到 $V$ 的线性变换

同向量空间线性变换相对于同基的矩阵：对于一个向量空间 $V$，它的基是 $\mathcal B$，那么从 $V$ 到 $V$ 的线性变换 $V$ 相对于基 $\mathcal B, \mathcal B$ 的矩阵，称为 $T$ 相对于 $\mathcal B$ 的矩阵，或 $T$ 的 $\mathcal B-$矩阵。此时

$$[T]_\mathcal B = \left[ \begin{matrix} [T(\boldsymbol{b}_1)]_\mathcal B & [T(\boldsymbol{b}_2)]_\mathcal B & \cdots & [T(\boldsymbol{b}_n)]_\mathcal B \end{matrix} \right]$$

于是对于一个 $\boldsymbol{x} \in V$，有

$$[T(\boldsymbol{x})]_\mathcal C = M [\boldsymbol{x}]_B$$

$\mathbb R^n$ 上的线性变换

定理 8（对角矩阵表示）：设 $A = PDP^{-1}$，且 $D$ 为 $n \times n$ 对角矩阵，若 $P$ 由 $\mathbb R^n$ 的一个基 $\mathcal B$ 中的向量组成，那么 $D$ 是变换 $T: \boldsymbol{x} \mapsto A \boldsymbol{x}$ 的 $\mathcal B-$矩阵。

证明：

首先，对于 $P$ 有

$$P[\boldsymbol{x}]_\mathcal B = \boldsymbol{x},\ [\boldsymbol{x}]_\mathcal B = P^{-1} \boldsymbol{x}$$

因此

$$\begin{aligned} [T]_\mathcal B &= \left[ \begin{matrix} [T(\boldsymbol{b}_1)]_\mathcal B & [T(\boldsymbol{b}_2)]_\mathcal B & \cdots & [T(\boldsymbol{b}_n)]_\mathcal B \end{matrix} \right] \\ &= \left[ \begin{matrix} [A\boldsymbol{b}_1]_\mathcal B & [A\boldsymbol{b}_2]_\mathcal B & \cdots & [A\boldsymbol{b}_n]_\mathcal B \end{matrix} \right] \\ &= \left[ \begin{matrix} P^{-1}A\boldsymbol{b}_1 & P^{-1}A\boldsymbol{b}_2 & \cdots & P^{-1}A\boldsymbol{b}_n \end{matrix} \right] \\ &= P^{-1}AP \\ &= P^{-1} (PDP^{-1}) P \\ &= D \\ \end{aligned}$$

矩阵表示的相似性

事实上，定理 8 可以推广到 $D$ 不是对角矩阵的情况。我们只需要找到任何一个和 $A$ 相似的矩阵即可。该定理的原理：若 $A = PCP^{-1}$，则有

$$(PCP^{-1})\boldsymbol{x} = PC [x]_{\mathcal B} = P[A\boldsymbol{x}]_\mathcal B = A\boldsymbol{x}$$

在 $\mathbb R^n$ 上进行的矩阵变换 $\boldsymbol{x} \mapsto A\boldsymbol{x}$，相当于在以 $\mathcal B$ 为基上进行的矩阵变换 $[x]_{\mathcal B} \mapsto [A\boldsymbol{x}]_\mathcal B$，它们的标准矩阵分别是 $A,C$，所以我们会称 $A,C$ 是相似的。