寻找特征值

如果我们想要找出某一个矩阵的所有特征值，那么等价于要寻找所有的 $\lambda$，使得 $\det (A - \lambda I) = 0$。

由于 $\det (A - \lambda I)$ 可以通过行列式的定义，写出一个关于 $\lambda$ 的 $n$ 次方程。由代数基本定理可知，该方程最多会有 $n$ 个解。因此，$n \times n$ 的矩阵最多会有 $n$ 个特征值。

行列式、特征值与可逆矩阵

定理（可逆矩阵定理（续））：设 $A$ 是 $n\times n$ 矩阵，则 $A$ 是可逆的当且仅当

  • $0$ 不是 $A$ 的特征值。
  • $A$ 的行列式不等于 $0$。

证明：在 5.1 中已经讨论过，这里不再赘述。

如果 $A$ 是 $3 \times 3$ 矩阵，那么 $|\det A|$ 是由 $A$ 的列向量为三个同一起点出发的棱生成的平行六面体的体积。

那么可见，平行六面体的体积不等于零当且仅当 $A$ 的列向量线性无关，这等价于 $A$ 是可逆矩阵。

定理 3（行列式的性质）：设 $A,B$ 是 $n \times n$ 矩阵：

  • $A$ 可逆的充分条件是 $\det A \ne 0$；
  • $\det AB = \det A \det B$；
  • $\det A^T= \det A$；
  • 若 $A$ 是三角矩阵，那么 $\det A$ 是主对角线元素的乘积。
  • 对 $A$ 的某一行加到另一行，不改变行列式的值；对 $A$ 两行进行交换，行列式变为原来相反数；对 $A$ 某一行数乘 $k$，则行列式变为原来的 $k$ 倍。

该定理是对之前对行列式讨论的总结。

特征方程

特征多项式：$\det (A - \lambda I) = 0$ 称为 $A$ 的特征多项式。

特征方程：数值方程 $\det (A - \lambda I) = 0$ 称为 $A$ 的特征方程。

该特征方程的根是 $A$ 的所有特征值。该特征方程恰好有 $n$ 个根，其中实根称为实特征值，复根称为复特征值。下面我们只讨论实特征值。

（代数）重数：特征值 $\lambda$ 在特征方程 $\det (A - \lambda I) = 0$ 中作为重根的个数。

相似性

相似：假如 $A,B$ 是 $n \times n$ 矩阵，且存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP = B$，或等价地 $A = PBP^{-1}$，则我们称 $A$ 相似于 $B$（单向）。

同时我们，记 $Q = P^{-1}$，则有 $Q^{-1}BQ = A$，则 $B$ 相似于 $A$。

因此，我们可以简单地说 $A,B$ 是相似的。

相似变换：将矩阵 $A$ 变成 $P^{-1}AP$ 的过程称为相似变换。

定理 4：若 $n \times n$ 矩阵 $A,B$ 是相似的，那么它们具有相同的特征多项式，相同的特征值和对应的重数。

证明：由于 $A,B$ 相似，那 $$B - \lambda I = P^{-1}AP - P^{-1}\lambda P = P^{-1}(A-\lambda I)P$$

因此 $$\begin{aligned} \det (B - \lambda I) &= \det [P^{-1}(A-\lambda I)P] \\ &= \det P^{-1} \det (A - \lambda I) \det P \end{aligned}$$

由于 $\det P^{-1} \det P = \det (P^{-1}P) = \det I = 1$，因此 $$\det (B - \lambda I) = \det (A - \lambda I)$$

从而它们的特征方程与相应的根相同，定理成立。

特征方程在数列中的应用（应用到动力系统）

给定 $n \times n$ 的矩阵 $A$ 和 $\boldsymbol{x_0} \in \mathbb R^n$，并定义向量序列 $\boldsymbol{x}_{k + 1} = A \boldsymbol{x}_k\ (k = 0, 1, 2, \cdots)$，求 $x_k$ 的通项公式。

我们可以先求出 $A$ 所有的特征根 $\{\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\}$ 与其特征向量的基 $\{ \boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_n \}$，也就是

$$\left\{\begin{aligned} A \boldsymbol{v}_1 &= \lambda \boldsymbol{v}_1 \\ A \boldsymbol{v}_2 &= \lambda \boldsymbol{v}_2 \\ &\vdots \\ A \boldsymbol{v}_n &= \lambda \boldsymbol{v}_n \\ \end{aligned} \right.$$

然后，我们将 $\boldsymbol{x}_0$ 表示为特征向量 $\{ \boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_n \}$ 的线性组合：

$$\boldsymbol{x}_0 = \left[\begin{matrix} \boldsymbol{v}_1 & \boldsymbol{v}_2 & \cdots & \boldsymbol{v}_n \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \\ \end{matrix}\right]$$

我们对增广矩阵 $\left[\begin{matrix}\boldsymbol{v}_1 & \boldsymbol{v}_2 & \cdots & \boldsymbol{v}_n & \boldsymbol{x}_0 \end{matrix}\right]$ 进行行简化即可得到系数向量。

因此，

$$\begin{aligned} \boldsymbol{x}_{k+1} &= A( c_{k1}\boldsymbol{v}_1 + c_{k2}\boldsymbol{v}_2 + \cdots c_{kn}\boldsymbol{v}_n) \\ &= c_{k1}(A\boldsymbol{v}_1) + c_{k2}(A\boldsymbol{v}_2) + \cdots + c_{kn}(A\boldsymbol{v}_n)\\ &= \lambda_1 c_{k1}\boldsymbol{v}_1 + \lambda_2 c_{k2}\boldsymbol{v}_2 + \cdots + \lambda_n c_{kn}\boldsymbol{v}_n \end{aligned}$$

因此

$$\boldsymbol{x}_k = \lambda_1^k c_1 \boldsymbol{v}_1 + \lambda_2^k c_2 \boldsymbol{v}_2 + \cdots + \lambda_n^k c_n \boldsymbol{v}_n$$