向量空间中基的变换

定理 15：若 $\mathcal B = \{ \boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_n \}, \mathcal C = \{ \boldsymbol{c}_1, \boldsymbol{c}_2, \cdots, \boldsymbol{c}_n \}$ 均是向量空间 $V$ 的基，则存在 $n \times n$ 的矩阵 $\mathop P\limits_{\mathcal C \leftarrow \mathcal B}$ 使得

$$[\boldsymbol{x}]_\mathcal C = \mathop P\limits_{\mathcal C \leftarrow \mathcal B} [\boldsymbol{x}]_\mathcal B$$

其中 $\mathop P\limits_{\mathcal C \leftarrow \mathcal B}$ 称为由 $\mathcal{B}$ 到 $\mathcal{C}$ 的坐标变换矩阵。该矩阵的列是 $\mathcal B$ 中的向量的 $\mathcal C-$坐标向量。

$$\mathop P\limits_{\mathcal C \leftarrow \mathcal B} = \left[ \begin{matrix} [\boldsymbol{b}_1]_\mathcal C & [\boldsymbol{b}_2]_\mathcal C & \cdots & [\boldsymbol{b}_n]_\mathcal C \end{matrix} \right]$$

证明：两边左乘 $P_C$ 可得

$$\begin{aligned} P_C[\boldsymbol{x}]_\mathcal C &= P_C \mathop P\limits_{\mathcal C \leftarrow \mathcal B} [\boldsymbol{x}]_\mathcal B \\ \boldsymbol{x} &= \left[ \begin{matrix} P_C[\boldsymbol{b}_1]_\mathcal C & P_C[\boldsymbol{b}_2]_\mathcal C & \cdots & P_C[\boldsymbol{b}_n]_\mathcal C \end{matrix} \right] [\boldsymbol{x}]_\mathcal B \\ &=\left[ \begin{matrix} \boldsymbol{b}_1 & \boldsymbol{b}_2 & \cdots & \boldsymbol{b}_n \end{matrix} \right] [\boldsymbol{x}]_\mathcal B \\ &= P_B [\boldsymbol{x}]_\mathcal B \\ &= \boldsymbol{x} \end{aligned}$$

由于 $\mathop P\limits_{\mathcal C \leftarrow \mathcal B}$ 中的列是线性无关集 $\mathcal B$ 中的向量的坐标向量，因此它们线性无关，从而可知 $\mathop P\limits_{\mathcal C \leftarrow \mathcal B}$ 是可逆矩阵，则有

$$\left( \mathop P\limits_{\mathcal C \leftarrow \mathcal B} \right)^{-1}[\boldsymbol{x}]_\mathcal C = [\boldsymbol{x}]_\mathcal B$$

其中 $\left( \mathop P\limits_{\mathcal C \leftarrow \mathcal B} \right)^{-1}$ 是将 $\mathcal C-$坐标变为 $\mathcal B-$坐标的矩阵，即

$$\mathop P\limits_{\mathcal B \leftarrow \mathcal C} = \left( \mathop P\limits_{\mathcal C \leftarrow \mathcal B} \right)^{-1}$$

$\mathbb R^n$ 中基的变换

对于 $\mathbb R^n$ 的两个基 $\mathcal B = \{ \boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_n \}, \mathcal C = \{ \boldsymbol{c}_1, \boldsymbol{c}_2, \cdots, \boldsymbol{c}_n \}$，进行基的变换，就需要找出 $\mathop P\limits_{\mathcal C \leftarrow \mathcal B}$。

方法一：构造一个合并在一起的增广矩阵

$$\left[ \begin{matrix} \boldsymbol{c}_1 & \boldsymbol{c}_2 & \cdots & \boldsymbol{c}_n & \boldsymbol{b}_1 & \boldsymbol{b}_2 & \cdots & \boldsymbol{b}_n \end{matrix} \right]$$

对其行简化便可得到

$$\left[ \begin{matrix} \boldsymbol{I}_n & \mathop P\limits_{\mathcal C \leftarrow \mathcal B} \end{matrix} \right]$$

方法二：先将 $\mathcal B-$坐标转换为标准坐标，再转换为 $\mathcal C-$坐标。由 $P_\mathcal C [\boldsymbol{x}]_\mathcal C = \boldsymbol{x}$ 得到 $[\boldsymbol{x}]_\mathcal C = P_\mathcal C^{-1} \boldsymbol{x}$

因此

$$[\boldsymbol{x}]_\mathcal C = P_\mathcal C^{-1} \boldsymbol{x} = P_\mathcal C^{-1} P_\mathcal B [\boldsymbol{x}]_\mathcal B$$

那么有

$$\mathop P\limits_{\mathcal C \leftarrow \mathcal B} = P_\mathcal C^{-1} P_\mathcal B $$