维数的定义

定理 9：若向量空间 $V$ 有一组基 $\mathcal B = \{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_n \}$，那么 $V$ 中任意包含多于 $n$ 个向量的集合一定线性相关。

证明：利用 $\boldsymbol{x} \mapsto [\boldsymbol{x}]_\mathcal B$ 映射到 $\mathbb{R}^n$ 上考虑。

设 $\{\boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2}, \cdots, \boldsymbol{v_p}\}$ 是数量大于 $n$ 的 $V$ 的子集，那么坐标向量为 $\{[\boldsymbol{v_1}]_{\mathcal{B}}, {[\boldsymbol{v_2}]}_{\mathcal{B}}, \cdots, {[\boldsymbol{v_p}]}_{\mathcal{B}}\}$。

由于 $p > n$，因此这些坐标向量必定线性相关，从而原来的向量也线性相关。

定理 9 推论（逆否命题）：若向量空间 $V$ 具有一组基 $\mathcal{B} = \{\boldsymbol{b_1}, \boldsymbol{b_2}, \cdots, \boldsymbol{b_n}\}$，那么 $V$ 中的线性无关集，向量数量必定不超过 $n$。

定理 10：若向量空间 $V$ 具有一组基 $\mathcal{B} = \{\boldsymbol{b_1}, \boldsymbol{b_2}, \cdots, \boldsymbol{b_n}\}$，那么 $V$ 的所有基的向量个数一定为 $n$。

证明： 设 $\mathcal{B’}$ 是另一组基，数量为 $p$。

由于 $B’$ 中向量线性无关，那么由定理 9 可知 $p \le n$；

由于 $B$ 中向量线性无关，那么由定理 9 可知 $n \le p$。

综上，$n = p$。

$\dim V$ 的定义：向量空间的 $V$ 的维数 dimension of V，即 $V$ 的基的向量个数。

若 $V$ 可由有限集生成，则称 $V$ 是有限维的 finite-dimensional；否则，称 $V$ 是无限维的 infinite-dimensional。$\{\boldsymbol{0}\}$ 的维数为 $0$。

一般而言，$\dim \mathbb{P}_n = n + 1$，所有多项式的空间 $\mathbb P$ 是无限维的。

有限维空间的子空间

定理 11：若 $H$ 是有限维向量空间 $V$ 的子空间，那么 $H$ 也是有限维向量空间，且

$$\dim H \le \dim V$$

证明：$H$ 的基的数量等于 $\dim H$。而因为这个基是 $S$ 的一个线性无关集，因此不能超过 $\dim V$，因此 $\dim H \le \dim V$。

定理 12（基定理） The Basis Theorem：令 $V$ 是一个 $n$ 维向量空间（$n \ge 1$），那么对于 $V$ 中的一个含有 $n$ 个向量的子集 $\mathcal B$，它是 $V$ 的一个基需要满足以下两个条件之一：

  • $\mathcal B$ 中向量线性无关；
  • $\mathcal B$ 中向量可张成 $V$，即 $\mathcal B$ 是 $V$ 的一个生成集。

证明：

  • 线性无关集 $\mathcal B$ 可以扩充为 $V$ 的一个基，由于 $\dim V = n$，因此 $\mathcal B$ 是 $V$ 的一个基；
  • 生成集 $\mathcal B$ 中存在一个子集是 $V$ 的基，由于 $\dim V = n$，因此 $\mathcal B$ 是 $V$ 的一个基。

因此，我们只要知道向量空间的维数 $n$，然后我们只需要找一个大小为 $n$ 的线性无关集或者生成集，就能找到向量空间的基。

$\operatorname{Nul} \boldsymbol{A}$ 和 $\operatorname{Col} \boldsymbol{A}$ 的维数

$\operatorname{Nul} A$ 的维数是方程 $A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 中自由变量的个数 free variables。

$\operatorname{Col} A$ 的维数是 $A$ 中主元列的个数 pivot columns。