确定了向量空间的基，我们就可以在此基础上加上一个坐标系。
坐标相关定理与定义
定理 7（唯一表示定理） The Unique Representation Theorem：对于向量空间 $V$ 的一个有编号基 $\mathcal B = \{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_n \}$，对于 $V$ 中任意一个向量 $\boldsymbol{x}$，存在唯一的一组数 there exists a unique set of scalars $c_1, c_2, \cdots, c_n$，使得
$$\boldsymbol{x} = c_1 \boldsymbol{b}_1 + c_2 \boldsymbol{b}_2 + \cdots + c_n \boldsymbol{b}_n$$
证明：运用反证法。若有另一种表示，则两式相减 subtracting，得到一组基线性表示零向量的非平凡解，矛盾。从而证明定理。
坐标 coordinate：对于向量空间 $V$ 的一个有编号基 $\mathcal B = \{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_n \}$，对于 $V$ 中的某个向量 $\boldsymbol{x}$，$\boldsymbol{x}$ 相对基 $\mathcal{B}$ 的坐标（$\boldsymbol{x}$ 的 $\mathcal{B} -$坐标） 是唯一的一组数 $c_1, c_2, \cdots, c_n$ coordinates of x relative to the basis B (B-coordinate of x)，使得
$$\boldsymbol{x} = c_1 \boldsymbol{b}_1 + c_2 \boldsymbol{b}_2 + \cdots + c_n \boldsymbol{b}_n$$
坐标向量 coordinate vector：若 $\boldsymbol{x}$ 的 $\mathcal{B} -$坐标是唯一的一组数 $c_1, c_2, \cdots, c_n$，则 $\boldsymbol{x}$ 相对于 $\mathcal{B}$ 的坐标向量（$\boldsymbol{x}$ 的 $\mathcal{B} -$坐标向量） the coordinate vector of x (relative to B) or the B-coordinate vector of x是
$$[x]_{\mathcal{B}} = \left[ \begin{matrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \\ \end{matrix} \right]$$
坐标映射 coordinate mapping：映射 $x \mapsto [x]_{\mathcal{B}}$ 是 由 $\mathcal B$ 确定的 $\mathbb R^n \mapsto \mathbb R^n$ 的坐标映射 coordinate mapping (determined by B)。
$\boldsymbol{x}$ 的 $\mathcal{B-}$坐标揭示了如何从 $\mathcal B$ 中的向量求 $\boldsymbol{x}$。
坐标的几何表示 A Graphical Interpretation of Coordinates
基中的向量所在的直线构成坐标轴 axis。基中的向量是各个坐标轴的单位向量 unit of measurement on each axis。
$\mathbb{R}^n$ 中的坐标映射
已知 $\boldsymbol{x}$ 在 $\mathbb R^n$ 中的坐标，当确定了一组基 $\mathcal{B}$ 之后，我们希望求出 $[x]_\mathcal{B}$。
我们构建基和 $x$ 的坐标向量的增广矩阵 $ \begin{bmatrix} \boldsymbol{b}_1 & \boldsymbol{b}_2 & \cdots \boldsymbol{b}_n & \boldsymbol{x} \end{bmatrix}$ ，进行行变换即可得到 $ \begin{bmatrix} I_n & \boldsymbol{[x]_\mathcal{B}} \end{bmatrix}$
坐标变换矩阵 change-of-coordinates matrix：对于 $\mathbb R^n$ 的一组基 $\mathcal{B} = \{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_n \}$，则从 $\mathcal B$ 到 $\mathbb R^n$ 中标准基的坐标变换矩阵为一个 $n \times n$ 的矩阵
$$P_\mathcal B = \left[\begin{matrix} \boldsymbol{b}_1 & \boldsymbol{b}_2 & \cdots \boldsymbol{b}_n \end{matrix}\right]$$
则有 change-of-coordinates equation
$$\boldsymbol{x} = P_\mathcal B [\boldsymbol{x}]_\mathcal B$$
由于 $P_\mathcal B$ 中的列线性独立，因此矩阵可逆，因此有
$$P_\mathcal B^{-1} \boldsymbol{x} = [\boldsymbol{x}]_\mathcal B$$
这相当于我们如果知道 $\boldsymbol{x}$ 的原坐标，我们可以通过这个变换得到 $\boldsymbol{x}$ 的 $\mathcal B-$坐标表示。这是 $\mathbb R^n \mapsto \mathbb R^n$ 的一对一线性变换。
这个性质对于一般向量空间也成立。
一般向量空间的坐标映射 Coordinate Mapping
定理 8：令 $\mathcal{B} = \{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_n \}$ 是向量空间 $V$ 的一个基，那么坐标映射 $x \mapsto [x]_\mathcal B$ 是 $V \to \mathbb R^n$ 的一对一且映到 $\mathrm R^n$的线性变换 one-to-one linear transformation from $V$ onto $\mathrm R^n$。
证明：
- 验证 $x \mapsto [x]_\mathcal B$ 对向量加法和标量乘法封闭即可。
- 由于基是线性无关，因此坐标映射是一对一的。由于对于任意坐标 $[\boldsymbol{x}]_\mathcal B$ 都有对应的 $V$ 的向量，所以坐标映射映上 $\mathrm R^n$。
推广（坐标映射的线性性） linearity： $\forall \boldsymbol{u}_1, \boldsymbol{u}_2, \cdots, \boldsymbol{u}_p \in V, c_1, c_2, \cdots, c_p \in R$，有
$$[c_1 \boldsymbol{u}_1 + c_2 \boldsymbol{u}_2 + \cdots + c_p \boldsymbol{u}_p]_\mathbb B = c_1 [\boldsymbol{u}_1]_\mathbb B + c_2 [\boldsymbol{u}_2]_\mathbb B + \cdots + c_p [\boldsymbol{u}_p]_\mathbb B$$
同构 isomorphism：$V \mapsto W$ 的一对一线性变换称为 $V$ 和 $W$ 上的一个同构。每一个在 $V$ 中的向量空间的计算可以完全相同地出现在 $W$ 中 (indistinguishable as vector spaces)。
例如，$\mathcal{B} = \{1, t, t^2, t^3\}$ 是 $\mathbb P_3$ 的标准基，那么对于任意 $\boldsymbol{p} = a_0 + a_1t + a_2t^2 + a_3t^3$，其坐标为 $[\boldsymbol{p}]_\mathcal B = \begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \end{bmatrix}$。那么我们称 $\boldsymbol{p} \mapsto [\boldsymbol{p}]_\mathcal B$ 为 $\mathbb P_3$ 到 $\mathbb R^4$ 的同构。
对于某一个陌生的线性空间，我们可以先找它的基 $\mathcal B$，并将所有的向量 $\boldsymbol{v}$ 线性变换为 $\mathbb R^n$ 的坐标 $[\boldsymbol{v}]_\mathcal B$。由于这样的变换是同构的，那么原线性空间的线性相关、解方程等等的问题就可以转换为坐标向量在 $\mathbb R^n$ 上的问题。