向量空间 Vector Space

向量空间：一些可视作向量的对象构成的非空集合 nonempty set $V$。定义两个运算： 向量加法 addition、标量乘法 multiplication by scalars (real numbers)。

对于所有 $\boldsymbol{u,v,w} \in V, c,d \in R$，均有以下公理 axioms

  • 向量加法封闭性：$\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v} \in V$
  • 向量加法交换律：$\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v} = \boldsymbol{v} + \boldsymbol{u}$
  • 向量加法结合律：$(\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}) + \boldsymbol{w} = \boldsymbol{u} + (\boldsymbol{v} + \boldsymbol{w})$
  • 零向量 zero vector：有且仅有一个零向量 $\boldsymbol{0}$，使得 $\boldsymbol{u} + (-\boldsymbol{u}) = \boldsymbol{0}$
  • 相反向量：对于每个向量 $\boldsymbol{u}$，有且仅有一个相反向量 $-\boldsymbol{u}$，使得 $\boldsymbol{u} + (-\boldsymbol{u}) = \boldsymbol{0}$
  • 标量乘法封闭性 scalar multiple：$c\boldsymbol{u} \in V$
  • 标量乘法对向量加法分配律：$(c + d) \boldsymbol{u} = c \boldsymbol{u} + d \boldsymbol{u}$
  • 标量乘法结合律：$c(d\boldsymbol{u}) =(cd)\boldsymbol{u}$
  • 单位标量：$1 \boldsymbol{u} = \boldsymbol{u}$

由以上性质可以推出其他性质（有关零向量与相反向量 negative vector）：

  • $0\boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}$
  • $c\boldsymbol{0} = \boldsymbol{0}$
  • $-\boldsymbol{u} = (-1)\boldsymbol{u}$

向量空间的例子：

  • $\mathbb{R}^n\ (n \ge 1)$
  • $n$ 维空间所有有向线段 arrow (directed line segments) 的集合。向量加法满足平行四边形法则 parallelogram rule，标量乘法是有向线段的拉伸。
  • 最高次数 degree 为 $n$ 次的所有多项式 polynomial $\mathbb{P}_n$
  • $\mathbb{D} \to \mathbb{R}$ 的全体实值函数 real-valued function 的集合。

子空间 Subspaces

子空间：向量空间 $V$ 中的一个子空间 $H$ 满足：

  • $V$ 中的零向量也在 $H$ 中；
  • 对向量加法封闭 closed under vector additon：$\forall \boldsymbol{u,v}\in H, \boldsymbol{u + v}\in H$
  • 对标量乘法封闭 colsed under multiplication by scalars：$\forall c\in \mathbb{R}, \boldsymbol{u} \in V, c\boldsymbol{u}\in V$

以上三个定义可以保证子空间也是向量空间，即子空间也满足刚才的十多个性质。

同时任何向量空间，相对于其他更大的向量空间而言，也可以视作一个子空间。

（是或非）子空间的例子：

  • 零子空间 zero subspace $\{\boldsymbol{0}\}$
  • 三维空间中 $x = 0$ 的平面 $H = \left\{ \left.\begin{bmatrix} s \\ t \\ 0 \end{bmatrix}\right\vert s, t \in \mathbb R\right\}$。注意 $\mathbb R^2$ 不是 $\mathbb R^3$ 的子空间；
  • 过原点的直线 line through the origin。注意不过原点的直线不是子空间。
  • 过原点的平面 plane through the origin。注意不过原点的平面不是子空间。

由一个集合生成的子空间 A Subspace Spanned by a Set

线性组合 linear combination：一些向量的任意标量乘法之和 any sum of scalar multiples of vectors。

生成（张成）子空间：$H = \operatorname{Span}\{\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_n\}$ 是所有可以表示为 $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_n$ 的线性组合的向量的集合 Subspace spanned (generated) by a set。

生成集（张成集）：在上面的定义中，$\{\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_n\}$ 是 $H$ 的生成集 spanning (generating) set。

定理 1： 若 $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_n \in V$，则 $\operatorname{Span}\{\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_n\}$ 是 $V$ 的一个子空间。

证明：从张成子空间存在零向量、对加法封闭、对乘法封闭来证明。

如果要证明一个向量空间是否为另一个向量空间的子空间，我们只需找出这个向量空间表示为生成集 $\{\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_n\}$，再证明这些向量均属于另一个向量空间即可。

如何认识一个向量空间：找出它的生成集。

判断一个向量是否在一个生成子空间中：建立生成集与该向量的增广矩阵，判断其是否相容。