行列式与行变换的关系

定理 3（行列式与行变换的关系）：对于 $n \times n$ 的矩阵 $A$ 中

  • 若 $A$ 某一行的倍数加到另一行，则行列式不变。
  • 若 $A$ 的两行互换 interchanged，则行列式变为原来的相反数。
  • 若 $A$ 的某行乘以 $k$ 倍，则行列式变为原来的 $k$ 倍。

证明：使用数学归纳法证明。

对于 $n \le 2$ 的情况，容易通过余子式展开证明。

假设定理已经对 $k \times k$ 的矩阵成立，令 $n = k + 1$，$A$ 为 $n \times n$ 的矩阵，那么三种行变换只会对其中 一行或两行产生影响，我们取其中没有受到影响的一行，然后对这一行进行余子式展开。

每个余因子经过三种行变换分别会变为原来的 $1, -1, k$ 倍，那么可以使用乘法分配律得出余子式也变为原来的 $1, -1, k$ 倍，从而证明定理对 $n \times n$ 的矩阵成立。

综上所述，定理对所有 $n \times n\ (n \ge 1)$ 的矩阵都成立。

由该定理可知，如果我们需要计算一个行列式的值，我们可以对该矩阵进行行变换，得到一个上三角矩阵，然后我们将对角线的值乘起来，再乘上行变换时对行列式的影响即可。

同时，我们知道，如果 $A$ 可以行变换为主对角线元素均非零的上三角矩阵，则矩阵可逆，那么就说明：

定理 4：$n \times n$ 的矩阵 $A$ 是可逆的当且仅当 $\det A \ne 0$。

推论：若矩阵 $A$ 的列向量线性相关，等价于 $\det A = 0$。若矩阵 $A$ 的列向量线性独立，等价于 $\det A \ne 0$。

在计算行列式的时候，我们可以根据矩阵的特点，同时使用行变换和余子式展开的方式计算矩阵的行列式。

行列式与列变换的关系

定理 5：对于 $n \times n$ 的矩阵 $A$，有 $\det A^T = \det A$。

证明：我们使用数学归纳法来证明该定理。

当 $n = 1$ 时，定理显然成立。

假设定理对 $k \times k$ 的行列式成立，令 $n = k + 1$，则有 $|A_{1j}| = |(A^T_{j1})^T| = |A^T_{j1}|$，并且 $a_{1j} = a^T_{j1}$。

因此转置前后的余因子展开式相等， 故 $\det A = \det A^T$。

综上所述，定理对任意 $n \ge 1$ 均成立。

由该定理，我们将行变换变为列变换时，定理 3 仍然成立。

行列式与矩阵乘积的关系

定理 6（乘法的性质）：若 $A,B$ 均为 $n \times n$ 的矩阵，那么 $\det AB = \det A \det B$。

证明：若 $A$ 不可逆，那么那么 $\det AB = 0, \det A = 0$（由2.3习题27？？？）

若 $A$ 可逆，那么可以 $A \sim I_n$，则 $A$ 可以分解为若干步的行变换矩阵的乘积 $A = E_p E_{p-1} \cdots E_1$。这些行变换矩阵的行列式等于定理 3 中对应的系数。

因此

$$\begin{aligned} |AB| &= |E_p E_{p-1} \cdots E_1 B| \\ &= |E_p| · |E_{p-1} \cdots E_1 B| \\ &= \cdots \\ &= |E_p| |E_{p-1}| \cdots |E_1| |B| \\ &= \cdots \\ &= |E_pE_{p-1} \cdots E_1| |B| \\ &= |A| |B| \end{aligned}$$

原命题得证。

注意，一般而言，$\det (A + B) \ne \det A + \det B$。

行列式的线性性质 Linearity Property

将矩阵某一列的向量设为自变量，那么此时 $\det A$ 是关于该可变向量的线性函数。

可变向量的线性函数：定义由 $\mathbb R^n$ 到 $\mathbb R$ 的变换 $T$ 为

$$T(\boldsymbol{x}) = \det \left[ \begin{matrix} \boldsymbol{a}_1 & \cdots & \boldsymbol{a}_{j-1} & \boldsymbol{x} & \boldsymbol{a}_{j+1} & \cdots & \boldsymbol{a}_n \end{matrix}\right]$$ 则有

$$\begin{aligned} (1)\ & T(c\boldsymbol{x}) = c T(\boldsymbol{x}), \forall c \in \mathbb R, \boldsymbol{x} \in \mathbb R^n \\ (2)\ & T(\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}) = T(\boldsymbol{u}) + T(\boldsymbol{v}) , \forall \boldsymbol{u,v} \in \mathbb R^n \\ \end{aligned}$$

证明：第一个性质可以根据行列式与行变换的关系直接得出。第二个性质可以根据行列式按照第 $j$ 列的余子式相加证明。