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坐标系

定理 7（唯一表示定理）：对于向量空间 $V$ 的一个有编号基 $\mathcal B = \\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_n \\}$，对于 $V$ 中任意一个向量 $\boldsymbol{x}$，存在唯一的一组数 $c_1, c_2, \cdots, c_n$，使得

$$\boldsymbol{x} = c_1 \boldsymbol{b}_1 + c_2 \boldsymbol{b}_2 + \cdots + c_n \boldsymbol{b}_n$$

证明：运用反证法。若有另一种表示，则两式相减，得到一组基线性表示零向量的非平凡解，矛盾。从而证明定理。

坐标：对于向量空间 $V$ 的一个有编号基 $\mathcal B = \\{\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \cdots, \boldsymbol{b}_n \\}$，对于 $V$ 中的某个向量 $\boldsymbol{x}$，$\boldsymbol{x}$ 相对基 $\mathcal{B}$ 的坐标（$\boldsymbol{x}$ 的 $\mathcal{B} -$坐标） 是唯一的一组数 $c_1, c_2, \cdots, c_n$，使得

$$\boldsymbol{x} = c_1 \boldsymbol{b}_1 + c_2 \boldsymbol{b}_2 + \cdots + c_n \boldsymbol{b}_n$$

坐标向量：若 $\boldsymbol{x}$ 的 $\mathcal{B} -$坐标是唯一的一组数 $c_1, c_2, \cdots, c_n$，则 $\boldsymbol{x}$ 相对于 $\mathcal{B}$ 的坐标向量（$\boldsymbol{x}$ 的 $\mathcal{B} -$坐标向量） 是

$$[x]_{\mathcal{B}} = \left[ \begin{matrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \\ \end{matrix} \right]$$

若已知 $\boldsymbol{x}$ 在 $\mathbb R^n$ 中的坐标，当确定了一组基 $\mathcal{B}$ 之后，我们希望求出 $[x]_\mathcal{B}$。

我们构建基和 $x$ 的坐标向量的增广矩阵 $\begin{bmatrix} \boldsymbol{b}_1 & \boldsymbol{b}_2 & \cdots \boldsymbol{b}_n & \boldsymbol{x} \end{bmatrix}$ ，进行行简化即可得到 $ \begin{bmatrix} I_n & \boldsymbol{[x]_\mathcal{B}} \end{bmatrix} $，此时我们就能得到 $x$ 相对于 $\mathcal B$ 的坐标向量。

同构：$V \mapsto W$ 的一对一线性变换称为 $V$ 和 $W$ 上的一个同构。每一个在 $V$ 中的向量空间的计算可以完全相同地出现在 $W$ 中。

子空间的维数

$\dim V$ 的定义：向量空间的 $V$ 的维数，即 $V$ 的基的向量个数。

若 $V$ 可由有限集生成，则称 $V$ 是有限维的；否则，称 $V$ 是无限维的。$\\{\boldsymbol{0}\\}$ 的维数为 $0$。

定理 14（秩定理）：$m \times n$ 的矩阵 $A$ 的列空间和行空间的维数相等，且 $A$ 的秩满足

$$\text{rank } A + \text{dim Nul A} = n$$

证明：

$$\text{主元列个数} + \text{非主元列个数} = \text{列的个数}$$

定理 15（基定理）：令 $V$ 是一个 $n$ 维向量空间（$n \ge 1$），那么对于 $V$ 中的一个含有 $n$ 个向量的子集 $\mathcal B$，它是 $V$ 的一个基需要满足以下两个条件之一：

  • $\mathcal B$ 中向量线性无关；
  • $\mathcal B$ 中向量可张成 $V$，即 $\mathcal B$ 是 $V$ 的一个生成集。

证明：

  • 线性无关集 $\mathcal B$ 可以扩充为 $V$ 的一个基，由于 $\dim V = n$，因此 $\mathcal B$ 是 $V$ 的一个基；
  • 生成集 $\mathcal B$ 中存在一个子集是 $V$ 的基，由于 $\dim V = n$，因此 $\mathcal B$ 是 $V$ 的一个基。

因此，我们只要知道向量空间的维数 $n$，然后我们只需要找一个大小为 $n$ 的线性无关集或者生成集，就能找到向量空间的基。

秩与可逆矩阵定理

可逆矩阵定理（续）：对于 $n \times n$ 矩阵 $A$，下面的命题均等价于 $A$ 是可逆矩阵 ：

  • $A$ 的列是 $\mathbb R^n$ 的一个基。
  • $\operatorname{Col} A = \mathbb R^n, \operatorname{rank} A = n, \operatorname{Nul} A = \\{\boldsymbol{0}\\}, \operatorname{dim\ Nul } A = 0$

证明：第一个命题显然等于第二个命题，而 $\operatorname{dim\ Nul } A = 0$ 说明没有自由变量，从而使 $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 只有平凡解，这与矩阵 $A$ 可逆是等价的。