分块矩阵的定义
分块矩阵：将原矩阵用水平线和竖直线分成若干块，把每一块视作一个元素，那么这些元素按照相对顺序描述的矩阵称为 分块矩阵，例如划分为两行三列的分块矩阵可以描述为
$$A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ \end{bmatrix} $$
矩阵加法与标量乘法
若 $A$ 与 $B$ 有相同维数且以相同方式分块，那么其矩阵加法得到的矩阵也是以同样方式分块，并且每一块是 $A,B$ 对应块的矩阵之和。
标量乘上某一个分块矩阵得到的分块矩阵，也是以同样方式分块，并且每个块均乘上该标量。
分块矩阵的乘法
分块矩阵 $A, B$ 可以进行矩阵乘法的条件是，$A$ 的列分法和 $B$ 的行分法是一致的。其计算的过程也是使用行列法则，和矩阵乘法的过程一样。
矩阵乘法的列行法则：若 $A \in \mathbb R^{m \times n}, B \in \mathbb R^{n \times p}$，那么有
$$\begin{aligned} AB &= \begin{bmatrix} \operatorname{col}_1(A) & \operatorname{col}_2(A) & \cdots & \operatorname{col}_n(A) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \operatorname{row}_1(B) \\ \operatorname{row}_2(B) \\ \cdots \\ \operatorname{row}_p(B) \\ \end{bmatrix}\\ &= \sum_{k = 1}^n \operatorname{col}_k (A) \operatorname{row}_k (B) \\ \end{aligned}$$
证明：每个 $\operatorname{col}_k (A) \operatorname{row}_k (B)$ 中的 $(i,j)$ 的元素，恰好是 $a_{i,k} b_{k,j}$，因此 $AB$ 的 $(i,j)$ 元素为 $\sum\limits_{k = 1}^n a_{i,k} b_{k,j}$，与行列法则相同。
分块矩阵的逆
分块上三角矩阵：主对角线以下的块均为零矩阵的分块矩阵。
分块对角矩阵：除主对角线以外的块均为零矩阵的分块矩阵。
要计算分块矩阵的逆，我们一般使用待定每个块，然后用分块矩阵列出若干个方程，并联立解出每个块的表达式。