可逆矩阵定理
定理 8（可逆矩阵定理）：设 $A$ 是 $n \times n$ 的矩阵，那么以下命题是等价的：
- （可逆矩阵）$A$ 是可逆的。$A^T$ 是可逆矩阵
- （行简化）$A$ 行等价于 $I_n$。$A$ 有 $n$ 个主元。
- （向量方程）方程 $A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 仅有平凡解。$\forall \boldsymbol{b} \in \mathbb R^n$，方程 $A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 至少有一个解。
- （线性无关）$A$ 的各列线性无关。
- （线性变换）线性变换 $\boldsymbol{x} \mapsto A\boldsymbol{x}$ 是一对一的，并且能把 $\mathbb R^n$ 映上 $\mathbb R^n$。
- （列空间）$A$ 的各列生成 $\mathbb R^n$。
证明：在前面章节中，命题 2~6 都被证明与命题 1 等价，因此这些命题都等价。
可逆线性变换
可逆线性变换：线性变换 $T : \mathbb R^n \mapsto \mathbb R^n$ 是可逆的，若存在函数 $S : \mathbb R^n \mapsto \mathbb R^n$，使得
$$\forall \boldsymbol{x} \in \mathbb R^n, S(T(\boldsymbol{x})) = \boldsymbol{x}$$ $$\forall \boldsymbol{x} \in \mathbb R^n, T(S(\boldsymbol{x})) = \boldsymbol{x}$$
定理 9：设 $T : \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^n$ 是线性变换，且 $A$ 是 $T$ 的标准矩阵，那么 $T$ 可逆当且仅当 $A$ 是可逆矩阵，这时线性变换 $S(\boldsymbol{x}) = A^{-1} \boldsymbol{x}$ 是 $T$ 的唯一的逆。
证明：由于存在 $S$ 使得 $\forall \boldsymbol{x} \in \mathbb R^n, T(S(\boldsymbol{x}))=\boldsymbol{x}$，因此 $T$ 是 $\mathbb R^n \rightarrow \mathbb R^n$ 的映射，因此由可逆矩阵定理可知，$A$ 是可逆的。
接下来验证 $S$ 是 $T$ 的逆：
$$S(T(\boldsymbol{x})) = A^{-1} A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}$$ $$T(S(\boldsymbol{x})) = A A^{-1} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}$$
并且由于 $S(\boldsymbol{v}) = \boldsymbol{x}$，对于每个 $\boldsymbol{x} \in \mathbb R^n$，均有唯一的 $\boldsymbol{v}$ 与之对应，因此 $S$ 是 $T$ 唯一的逆。