线性变换的标准矩阵

我们希望找出线性变换 $T: \boldsymbol{x} \mapsto A\boldsymbol{x}$ 中的矩阵 $A$。而 $A$ 的各列可以用该线性变换对 $I$ 的各列的作用来表示。

定理 10：设 $T: \mathrm R^n \rightarrow \mathrm R^m$ 是线性变换，那么存在唯一的矩阵 $A \in \mathrm R^{m \times n}$，使得 $T : \boldsymbol{x} \mapsto A\boldsymbol{x}$。

矩阵 $A$ 是线性变换 $T$ 的标准矩阵。

其中 $A$ 的第 $j$ 列是 $T(\boldsymbol{e}_j)$，其中 $\boldsymbol{e}_j$ 是 $I_n$ 的第 $j$ 列。

$$A = \left[ \begin{matrix} T(\boldsymbol{e}_1) & T(\boldsymbol{e}_2) & \cdots & T(\boldsymbol{e}_n) \end{matrix} \right]$$

证明：记 $\boldsymbol{x} = I_n\boldsymbol{x} = x_1\boldsymbol{e}_1 + x_2\boldsymbol{e}_2 + \cdots + x_n\boldsymbol{e}_n$，由于 $T$ 是线性变换，因此

$$\begin{aligned} T(\boldsymbol{x}) &= T(x_1\boldsymbol{e}_1 + x_2\boldsymbol{e}_2 + \cdots + x_n\boldsymbol{e}_n) \\ &= x_1 T(\boldsymbol{e}_1) + x_2 T(\boldsymbol{e}_2) + \cdots + x_n T(\boldsymbol{e}_n) \\ &= \left[ \begin{matrix} T(\boldsymbol{e}_1) & T(\boldsymbol{e}_2) & \cdots & T(\boldsymbol{e}_n) \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{matrix} \right] \\ &= A \boldsymbol{x} \\ \end{aligned}$$

每一个从 $\mathrm R^n \rightarrow \mathrm R^m$ 的线性变换都可以看作是矩阵变换。线性变换强调映射的性质，矩阵变换描述这样的映射如何实现。

几何线性变换

我们看该变换对 $(1,0), (0,1)$ 的效果即可得出变换矩阵。

对称

  • 关于某一轴对称（$x, y$ 轴）：$\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right]$，$\left[ \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]$

  • 关于 $45^\circ$ 斜线对称（$y = x, y = -x$）：$\left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]$，$\left[ \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \\ \end{matrix} \right]$

  • 关于原点对称：$\left[ \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right]$

收缩与拉伸

  • 水平和垂直：$\left[ \begin{matrix} k & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]$，$\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & k \\ \end{matrix} \right]$

剪切变换

  • 水平和垂直：$\left[ \begin{matrix} 1 & k \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]$，$\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ k & 1 \\ \end{matrix} \right]$

投影

  • 投影到不同轴上（水平和垂直）：$\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]$，$\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]$

存在与唯一性问题

满射与存在性

满射：若 $\mathrm R^m$ 中每个 $\boldsymbol{b}$ 是 $\mathrm R^n$ 中至少一个 $\boldsymbol{x}$ 的像，那么我们称映射 $T: \mathrm R^n \rightarrow \mathrm R^m$ 为到 $\mathrm R^m$ 上的映射。

“$T$ 是否把 $\mathrm R^n$ 映到 $\mathrm R^m$ 上？” 是存在性问题：

我们需要判断对于 $\mathrm R^m$ 中的每个 $\boldsymbol{b}$，方程 $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 是否至少有一个解。

单射与唯一性

单射：若 $\mathrm R^m$ 中每个 $\boldsymbol{b}$ 是 $\mathrm R^n$ 中至多一个 $\boldsymbol{x}$ 的像，那么我们称映射 $T: \mathrm R^n \rightarrow \mathrm R^m$ 为一对一映射。

“$T$ 是否一对一？” 是存在性问题：

我们需要判断对于 $\mathrm R^m$ 中的每个 $\boldsymbol{b}$，方程 $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 是否有唯一的解或者没有解。

线性变换与线性关系

定理 11：设 $T: \mathrm R^n \to \mathrm R^m$ 为线性变换，则 $T$ 是一对一的，当且仅当方程 $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 仅有平凡解。

证明：由于 $T$ 是线性的，那么 $T(\boldsymbol{0})=\boldsymbol{0}$。

如果 $T$ 是一对一的，那么 $T(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{0}$ 至多有一个解，因此只有平凡解。

如果$T$ 不是一对一的，那么 $\exists \boldsymbol{b} \in \mathrm R^m，T(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{b}$ 有两个相异的解 $\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}$，故

$$T(\boldsymbol{u} - \boldsymbol{v}) = T(\boldsymbol{u}) - T(\boldsymbol{v}) = \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b} = \boldsymbol{0}$$

又因 $T(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{0}$ 多于一个解，于是 $T$ 不是一对一的。

定理 12：设 $T: \mathrm R^n \to \mathrm R^m$ 为线性变换，设 $A$ 是 $T$ 的标准矩阵，那么

  • $T$ 把 $\mathrm R^n$ 映上 $\mathrm R^m$ $\Leftrightarrow$ $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}, \forall \boldsymbol{b} \in \mathrm R^m$ 均有解 $\Leftrightarrow$ $A$ 的列生成 $\mathrm R^m$。
  • $T$ 是一对一的 $\Leftrightarrow$ $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 仅有平凡解 $\Leftrightarrow$ 当且仅当方程 $A$ 的列线性无关。