线性相关的定义
$\mathrm R^n$ 中一组向量 $\mathcal V = \{\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_p\}$
线性无关：$\mathcal V$ 线性无关，当且仅当向量方程 $x_1 \boldsymbol{v}_1 + x_2 \boldsymbol{v}_2 + \cdots + x_p \boldsymbol{v}_p = \boldsymbol{0}$ 仅有平凡解。
线性相关：$\mathcal V$ 线性相关，当且仅当向量方程 $x_1 \boldsymbol{v}_1 + x_2 \boldsymbol{v}_2 + \cdots + x_p \boldsymbol{v}_p = \boldsymbol{0}$ 存在非平凡解。
其中该方程称为 $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_p$ 的线性相关关系。
两个向量组成的集合 $\{ \boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2\}$ 线性相关，当且仅当一个向量是另一个向量的倍数。
定理 7（线性相关集的特征）：两个或更多个向量的集合 $S = \{\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \cdots, \boldsymbol{v}_p\}$ 线性相关，当且仅当至少一个向量是其他向量的线性组合。若 $S$ 线性相关，且 $\boldsymbol{v}_1 \ne \boldsymbol{0}$，则某个 $\boldsymbol{v}_j (j > 1)$ 是它前面向量 $\boldsymbol{v}_1, \cdots, \boldsymbol{v}_{j-1}$ 的线性组合。
定理 8：若一个向量组的向量个数超过每个向量的元素个数，那么这个向量组线性相关。
矩阵各列的线性无关
矩阵 $A$ 的各列线性无关，当且仅当方程 $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 仅有平凡解。