线性组合：若 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，它的各列是 $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n$，对于 $\boldsymbol{x} \in \mathbb R^n$，那么 $A\boldsymbol{x}$ 就是 $A$ 的各列以 $\boldsymbol{x}$ 对应元素为权的线性组合。 $$A\boldsymbol{x} = \left[ \begin{matrix} \boldsymbol{a}_1 & \boldsymbol{a}_2 & \cdots & \boldsymbol{a}_n \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{matrix} \right] = x_1 \boldsymbol{a}_1 + x_2 \boldsymbol{a}_2 + \cdots + x_n \boldsymbol{a}_n $$
矩阵方程：$A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$
矩阵方程 $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$、向量方程 $x_1 \boldsymbol{a}_1 + x_2 \boldsymbol{a}_2 + \cdots + x_n \boldsymbol{a}_n = \boldsymbol{0}$、增广矩阵 $\left[ \begin{matrix} \boldsymbol{a}_1 & \boldsymbol{a}_2 & \cdots & \boldsymbol{a}_n & \boldsymbol{b} \end{matrix} \right]$ 的线性方程组有相同的解集。
解的存在性
方程 $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 有解当且仅当 $\boldsymbol{b}$ 是 $A$ 的各列的线性组合。
定理 4：设 $A$ 是 $m \times n$ 的矩阵，那么下列命题在逻辑上是等价的。
- 对于 $\mathbb R^m$ 中的每个 $\boldsymbol{b}$，方程 $A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 有解。
- $\mathbb R^m$ 中的每个 $\boldsymbol{b}$ 都是 $A$ 的列的线性组合。
- $A$ 的各列生成 $\mathbb R^m$
- $A$ 在每一行都有一个主元位置。