5.6 二次曲线的方程化简与分类
5.6.1 平面直角坐标变换
坐标变换可以通过先移轴到 $(x_0, y_0)$（使得原坐标原点与新坐标系的原点重合），然后顺时针旋转 $\alpha$（使得原曲线与新坐标系的曲线重合，因此每个坐标相对地逆时针旋转 $\alpha$），因此一般坐标变换公式为 $$\begin{cases}x’ = (x - x_0) \cos \alpha - (y - y_0) \sin \alpha \\ y’ = (x - x_0)\sin \alpha + (y - y_0) \cos \alpha \end{cases} $$ 如果坐标变换仅由两条正交直线给出，那么我们可以求出他们的交点作为新的坐标系原点，然后求出旋转的角度，即可转换为上面的方法。
坐标变换下，$F(x, y) = 0$ 左边的次数仍然是不变的，换句话说，与坐标系的选择无关。
5.2 二次曲线的方程化简与分类
对于移轴变换，方程的变换规律：
- 二次项系数不变
- 一次项系数为 $a’_{13} = F(x_0, y_0), a’_{23} = F_2(x_0, y_0)$
- 常数项变为 $a’_{33} = F(x_0, y_0)$
- 如果移到中心，那么一次项消失 $a’_{13} = a’_{23} = 0$。
对于转轴变换，方程的变换规律：
- 二次项系数一般会改变，仅与各个二次项系数相关
- 一次项系数一般要改变，仅与各个一次项系数相关
- 常数项不变。
- 如果旋转到与主直径重合 $\displaystyle \cot 2 \alpha = \frac{a_{11} - a_{22}}{2a_{12}}$，那么 $a’_{12} = 0$.
为了将二次曲线变换到合适的位置使得曲线的方程尽量简介，我们需要：
- 将坐标轴变换到二次曲线的 主直径（对称轴） 重合的位置
- 中心曲线：坐标原点与曲线中心重合
- 无心曲线：坐标原点与曲线顶点重合
- 线心曲线：坐标原点与曲线任何一个中心重合
定理：通过适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以化成下面三个简化方程中的一个：
| 曲线类型 | 标准方程 | 名称 | 不变量 |
|---|---|---|---|
| 中心曲线：$I_2 \ne 0$ $$a_{11}x^2 + a_{22}y^2 + a_{33} = 0$$$$(a_{11}a_{22} \ne 0)$$ | $$\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1$$ | 椭圆 | $I_2 > 0, I_1I_3 < 0$ |
| $$\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = -1$$ | 虚椭圆 | $I_2 > 0, I_1I_3 > 0$ | |
| $$\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1$$ | 双曲线 | $I_2 < 0, I_3 \ne 0$ | |
| $$\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 0$$ | 点 （相交于实点的共轭虚直线） | $I_2 > 0, I_3 = 0$ | |
| $$\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 0$$ | 两相交直线 | $I_2 < 0, I_3 = 0$ | |
| 无心曲线：$I_2 = 0,\ I_3 \ne 0$ $$a_{22} y^2 + 2a_{13} x = 0$$$$ (a_{22}a_{13} \ne 0)$$ | $$y^2 = 2px$$ | 抛物线 | |
| 线心曲线：$I_2 = I_3 = 0$ $$a_{22}y^2 + a_{33} = 0$$$$ (a_{22} \ne 0)$$ | $$y^2 = a^2$$ | 两平行直线 | $K_1 < 0$ |
| $$y^2 = -a^2$$ | 两平行共轭虚直线 | $K_1 > 0$ | |
| $$y^2 = 0$$ | 两重合直线 | $K_1 = 0$ |
5.7 应用不变量化简二次曲线的方程
二次曲线在直角坐标变换下，有三个不变量 $I_1, \ I_2,\ I_3$ 以及一个半不变量 $K_1$（移轴改变，转轴不变）。
