5.3 二次曲线的切线

过二次曲线上一点的切线：二次曲线与过曲线上一点的直线联立可得 $\Delta = [,F_{1}(x_{0},y_{0})\cdot X + F_{2}(x_{0},y_{0})\cdot Y,]^{2} - \Phi(X,Y)\cdot F(x_{0},y_{0}) = 0$。

由于 $F(x_0, y_0) = 0$，可得到 $F_{1}(x_{0},y_{0})\cdot X + F_{2}(x_{0},y_{0})\cdot Y = 0$.

那么该直线的方向为 $X:Y = F_2(x_0,y_0) : [-F_1(x_0, y_0)]$

切线方程为 $$\begin{aligned}(1) &\quad\begin{cases} x = x_0 + F_2(x_0, y_0) t \\ y = y_0 - F_1(x_0, y_0)t \end{cases} \\ (2)&\quad\frac{x - x_0}{F_2(x_0, y_0)} = \frac{y - y_0}{- F_1(x_0, y_0)}\\(3)&\quad (x - x_0)F_1(x_0, y_0) + (y - y_0) F_2(x_0, y_0) = 0\end{aligned}$$ 奇异点：曲线上一点满足 $F(x_0, y_0) = 0,\ F_1(x_0, y_0) = F_2(x_0, y_0) = 0$，则过它的直线都是二次曲线的切线。

  • 奇异点和中心的判定很像，都需要 $F_1 = 0,\ F_2 = 0$，但是奇异点还需要满足在直线上 $F = 0$，而中心不需要。
  • 二次曲线如果有奇异点，那么它一定是中心。
  • 非退化二次曲线（椭圆、双曲线、抛物线）一定没有奇异点，只有退化二次曲线才可能有奇异点。

正则点：曲线上的非奇异点。

正则点切线方程：由上可得切线方程的若干种形式 $$\begin{aligned}(1)\quad & \begin{cases}x = x_0 + F_2(x_0, y_0) t \\ y = y_0 - F_1(x_0, y_0) t\end{cases}\\(2)\quad &\frac{x - x_0}{F_2(x_0, y_0)} = \frac{y - y_0}{-F_1(x_0, y_0)}\\(3)\quad &(x-x_0)F_1(x_0, y_0) + (y - y_0)F_2(x_0, y_0) = 0\\(4)\quad & xF_1(x_0, y_0) + yF_2(x_0, y_0) + F_3(x_0, y_0)= 0\\(5)\quad & a_{11}x_0 x + a_{12}(x_0y + xy_0) + a_{22}y_0y + a_{13}(x+x_0) + a_{23}(y+ y_0) + a_{33} = 0\end{aligned}$$

如果不是过正则点的直线，则需要普通地进行联立求判别式。

5.4 二次曲线的直径

定理：二次曲线的一簇平行弦的中点轨迹是一条直线。

如果确定平行弦的方向是非渐近方向数 $(X, Y)$（满足 $\Phi(X,Y) \ne 0$），那么联立 + 韦达定理可得 $XF_1(x_0, y_0) + YF_2(x_0, y_0) = 0$

因此弦中点满足的方程为 $$XF_1(x, y) + YF_2(x, y) = 0$$ 即 $$(a_{11}X + a_{12}Y)x + (a_{12}X + a_{22} Y)y + (a_{13}X + a_{23}Y) = 0$$ 因此直径方向数为（这是接下来会涉及到的共轭方向） $$X’ : Y’ = - (a_{12}X + a_{22} Y) : (a_{11}X + a_{12}Y)$$ 直径：二次曲线的平行弦的中点轨迹是二次曲线的直径。

若斜率为 $k$（$X : Y = 1 : k$），那么直径方程是 $F_1(x, y) + kF_2(x, y) = 0$.

直径与曲线型：

  • 中心二次曲线的直径经过直径中心（如椭圆或双曲线），因为中心都满足 $F_1(x, y) = F_2(x, y) = 0$.
  • 无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向（如抛物线），方向数就是 $a_{22} : - a_{12}$ 或 $a_{12} : - a_{11}$.
  • 线心二次曲线的直径就是曲线的中心直线。

共轭方向：$X’:Y’ = - (a_{12}X + a_{22}Y) : (a_{11}X + a_{12}Y)$

因此可以推得 $\Phi(X’,Y’) = I_2 \Phi(X, Y) t^2$

  • 当 $I_2 \ne 0$ 即二次曲线是中心二次曲线时，非渐近方向的共轭方向仍然是非渐近方向
  • 当 $I_2 = 0$ 即二次曲线是无心/线心二次曲线时，非渐近方向的共轭方向是渐近方向。
  • 判据可以改写为更易记住的形式 $$\begin{bmatrix}X & Y\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}X’ \\ Y’\end{bmatrix}= a_{11}XX’ + a_{12} (XY’ + X’Y) + a_{22} YY’ = 0$$因此可以看出，共轭是相互的。共轭是二次型度量下内积的”正交”。
  • 在二次曲线上，在二次曲线上，一簇平行的弦对应一条直径（弦中点构成的直线），那么弦方向和直径方向互为共轭方向。

共轭直径：中心二次曲线的一对具有相互共轭方向的直径，

5.5 二次曲线的主直径和主方向

主直径：二次曲线中垂直于其共轭弦的直径。主直径是二次曲线的对称轴。

轴与曲线的交点叫做曲线的顶点。

主方向：主直径与垂直于主直径的方向都是二次曲线的主方向。

由于要让 $(X, Y) \perp (X’, Y’)$，因此 $X:Y = (a_{11}X + a_{12}Y) : (a_{12}X + a_{22}Y)$，需要解方程组 $$\begin{cases}a_{11}X + a_{12}Y = \lambda X \\ a_{12}X + a_{22}Y = \lambda Y\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (a_{11} - \lambda) X + a_{12}Y = 0 \\ a_{12}X + (a_{22} - \lambda)Y = 0 \end{cases}$$ 由于必须要让方程组有非平凡解，故只能让系数矩阵变得奇异 $$\begin{vmatrix}a_{11} - \lambda & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} - \lambda\end{vmatrix} = 0$$ 这实际上是求 $A^* = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}\end{bmatrix}$ 的特征值。然后回代即可得到 $(X,Y)$.

回顾 $X:Y = (a_{11}X + a_{12}Y) : (a_{12}X + a_{22}Y)$，实际上是在找特征向量 $(X, Y)$ 满足 $$\lambda(X,Y) = A^*(X, Y)$$ 因此导出特征值和特征向量的结论也就显然了。

然后，对于非渐近方向的主方向，我们可以求出它对应的主直径（$(x_0, y_0)$ 是二次曲线中心） $$\frac{x - x_0}{X} = \frac{y - y_0}{Y}$$ 和共轭于它的主直径 $$XF_1(x, y) + YF_2(x, y) = 0$$