5.0 二次曲线的定义
二次曲线的方程：$F(x, y) \equiv a_{11}x^2 + 2a_{12} xy + a_{22}y^2 + 2a_{13} x + 2a_{23} y + a_{33} = 0$
二次曲线的矩阵、$\Phi(x, y)$ 的矩阵：$$A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \\ \end{bmatrix},\quad A^* = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}\end{bmatrix}$$
那么有 $$F(x, y) = \boldsymbol x A \boldsymbol x^T = \begin{bmatrix}x & y & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \\ 1\end{bmatrix}$$
相关记号：
$$
\begin{aligned}
F_{1}(x,y)&\equiv \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x & y & 1\end{bmatrix}^T \equiv a_{11}x+a_{12}y+a_{13}\\
F_{2}(x,y)&\equiv \begin{bmatrix}a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x & y & 1\end{bmatrix}^T \equiv a_{12}x+a_{22}y+a_{23}\\
F_{3}(x,y)&\equiv \begin{bmatrix}a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x & y & 1\end{bmatrix}^T \equiv a_{13}x+a_{23}y+a_{33}\\
\Phi(x,y)&\equiv \begin{bmatrix}x & y\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{12} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} \equiv a_{11}x^{2}+2a_{12}xy+a_{22}y^{2}\\
F(x,y)&\equiv \begin{bmatrix}x & y & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}F_1(x, y) &F_2(x,y)&F_3(x,y)\end{bmatrix}^T\equiv xF_{1}(x,y)+yF_{2}(x,y)+F_{3}(x,y)\\
\end{aligned}
$$
$$
I_{1}=a_{11}+a_{22} ,\quad
I_{2}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{vmatrix}, \quad
I_{3}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{vmatrix} ,\quad
K_{1}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{13} & a_{33} \end{vmatrix}
+\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{23} & a_{33} \end{vmatrix}$$
5.1 二次曲线和直线的相关位置
与直线参数方程联立过程： $$ \begin{cases} x = x_0 + Xt,\\[4pt] y = y_0 + Yt \end{cases} $$ $$ (a_{11}X^{2}+2a_{12}XY+a_{22}Y^{2})t^{2} +2[(a_{11}x_{0}+a_{12}y_{0}+a_{13})X+(a_{12}x_{0}+a_{22}y_{0}+a_{23})Y]t +(a_{11}x_{0}^{2}+2a_{12}x_{0}y_{0}+a_{22}y_{0}^{2}+a_{13}x_{0}+2a_{23}y_{0}+a_{33})=0$$ $$\Phi(X,Y)\cdot t^{2} +2[,F_{1}(x_{0},y_{0})\cdot X+F_{2}(x_{0},y_{0})\cdot Y,]t +F(x_{0},y_{0})=0$$ $$ \Delta = [,F_{1}(x_{0},y_{0})\cdot X + F_{2}(x_{0},y_{0})\cdot Y,]^{2} - \Phi(X,Y)\cdot F(x_{0},y_{0}) $$
| 二次项系数 | 判别式 | 交点情况 |
|---|---|---|
| $\Phi(X,Y) \ne 0$ | $\Delta > 0$ | 两个不同的实交点 |
| $\Delta = 0$ | 两个相互重合的实交点 | |
| $\Delta < 0$ | 两个共轭的虚交点 | |
| $\Phi(X,Y) = 0$ | $F_{1}(x_{0},y_{0})\cdot X+F_{2}(x_{0},y_{0})\cdot Y \ne 0$ | 唯一实交点 |
| $F_{1}(x_{0},y_{0})\cdot X+F_{2}(x_{0},y_{0})\cdot Y \ne 0,\ F(x_0, y_0) \ne 0$ | 无交点 | |
| $F_{1}(x_{0},y_{0})\cdot X+F_{2}(x_{0},y_{0})\cdot Y = F(x_0, y_0) = 0$ | 直线在二次曲线上 |
5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线
渐近方向：在无穷远处，曲线渐近为直线的方向。满足 $\Phi(X, Y) = 0$ 的方向 $(X, Y)$ 叫做二次直线的渐近方向，即 $$\Phi(X,Y)\equiv \begin{bmatrix}X & Y\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{12} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}X \\ Y\end{bmatrix} \equiv a_{11}X^{2}+2a_{12}XY+a_{22}Y^{2} = 0$$ $$a_{11}\left(\frac{X}{Y}\right)^{2}+2a_{12}\left(\frac{X}{Y}\right)+a_{22} = 0$$ 是一个二次方程，因此渐近方向至多有两个。
通过渐近方向判断二次曲线类型：$\Delta = (2a_{12})^2 - 4a_{11}a_{22} = -4I_2 = -4 \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{vmatrix}$
- 若 $I_2 > 0$，则有一对共轭虚渐近方向，没有实渐近方向，称该二次曲线为椭圆型。
- 若 $I_2 = 0$，则有一对重合的实渐近方向，称该二次曲线为抛物型。
- 若 $I_2 < 0$，则有一对不重合的实渐近方向，称该二次曲线为双曲型。
中心：二次曲线的中心满足，它是所有过该点的弦的中点。满足下列方程组的解的点叫做二次曲线的中心，即 $$\begin{cases}F_1(x_0, y_0) \equiv a_{11}x+a_{12}y+a_{13} = 0 \\ F_2(x_0, y_0) \equiv a_{12}x+a_{22}y+a_{23} = 0\end{cases}$$ 当且仅当 $a_{13} = a_{23} = 0$ 时，原点为二次曲线中心。
| 中心类型 | 判别法 | 类型 |
|---|---|---|
| 中心二次曲线 | $I_2 \ne 0$，方程有唯一解 | 椭圆型、双曲型（包括双曲线和双直线） |
| 无心二次曲线 | $I_2 = 0$，且 $\frac{a_{11}}{a_{12}} = \frac{a_{12}}{a_{22}} \ne \frac{a_{13}}{a_{23}}$，无解 | 抛物型 |
| 线心二次曲线 | $I_2 = 0$，且 $\frac{a_{11}}{a_{12}} = \frac{a_{12}}{a_{22}} = \frac{a_{13}}{a_{23}}$，无穷多组解 | 单直线 $(ax + by + c)^2 = 0$ 或双平行线 $(ax + by + c)(ax + by + d) = 0$ |
渐近线：过二次曲线的中心，且以渐近方向为方向的直线，是二次曲线的渐近曲线。
二次曲线和它的渐近线要么没有交点，要么整条直线都在这条二次曲线上。
- 椭圆有两条虚渐近线，双曲线有两条实渐近线，抛物线没有渐近线。
- 二次曲线和它的渐近线要么没有交点，要么整条直线都在该二次曲线上。