4.3 旋转曲面 (cont’d)
如果旋转曲面上的母线，且旋转轴为坐标轴的时候，它的方程可以简化为二元函数。
- 如 $F(x, \pm \sqrt{y^2 + z^2}) = 0$ 绕着 $x$ 轴旋转。
- 如果绕着某个坐标轴旋转，只需将曲线方程保留和旋转轴同名坐标，其余两坐标平方和的正负平方根代替方程中的另一个坐标。
4.4-4.6 二次曲面
| 类型 | 椭球面 | 单叶双曲面 | 双叶双曲面 | 椭圆抛物面 | 双曲抛物面 |
|---|---|---|---|---|---|
| 标准方程 | $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ $(a,\ b,\ c>0)$ | $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ $(a,\ b,\ c>0)$ 三个参数中两正一负 | $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1$ $(a,\ b,\ c>0)$ 三个参数中两负一正 | $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \pm 2z$ $(a,\ b > 0)$ | $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = \pm 2z$ $(a,\ b > 0)$ |
| 对称性 | 关于三坐标平面、三坐标轴、坐标原点都对称 中心二次曲面 | 中心二次曲面 | 中心二次曲面 | 关于 $yOz, zOx$ 坐标面和 $z$ 对称，无对称中心 | 关于 $yOz, zOx$ 坐标面和 $z$ 对称，无对称中心 |
| 坐标轴交点 | $(\pm a, 0, 0), (0, \pm b, 0), (0, 0, \pm c)$ | $(\pm a, 0, 0), (0, \pm b, 0)$ | $(0, 0, \pm c)$ | $(0, 0, 0)$ | $(0, 0, 0)$ |
| 范围 | $\lvert x\rvert \le a,\ \lvert y\rvert \le b,\ \lvert z\rvert \le c$ | 可无穷延伸 | $\lvert z\rvert \ge c$, 可无穷延伸 | $=2z$ 则 $z \ge 0$ $=-2z$ 则 $z\le 0$ | 可无穷延伸 |
| 主截线 | 都是椭圆 | 腰椭圆 $(z)$、两个双曲线 $(x, y)$ | 无交点 $(z)$，两个双曲线 $(x, y)$ | 两个抛物线（主抛物线），原点 | $z:$ 两条相交的渐近线。 |
| 坐标面平行平面截线 | 例如与 $z = h$ 截取面，则截出的的曲线为 $$\begin{cases} \emptyset,& \lvert h\rvert > c \\(0, 0, \pm c), & \lvert h\rvert = c \\ 椭圆, & \lvert h\rvert < c\end{cases}$$ | $x = x_0$：$\lvert x_0\rvert = a$ 截出交于 $(\pm a, 0, 0)$ 的双直线；其余均为双曲线 $y = y_0$：$\lvert y_0\rvert = b$ 截出交于 $(0, \pm b, 0)$ 的双直线；其余均为双曲线 $z = z_0$：椭圆 | $x = x_0, y = y_0$ 截出的都是双曲线 $z = h$ 截出的曲线为 $$\begin{cases} \emptyset,& |h| < c \\(0, 0, \pm c), & |h| = c \\ 椭圆, & |h| > c\end{cases}$$ | $x = x_0, y = y_0$ 截出的都是抛物线（且形状相同，与取值无关） $z = z_0$ 截出的是椭圆 | $x = x_0, y = y_0$ 截出的都是抛物线（且形状相同，与取值无关） $z = z_0$ 截出的是双曲线 |
| 三角函数参数方程 | $\displaystyle \begin{cases} x = a \cos\theta \cos\varphi \\ y = b\cos\theta \sin\varphi \\ z = c \sin \theta\end{cases}$ $\left( - \frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}, \ 0 \le \varphi \le 2\pi \right)$ | $\displaystyle \begin{cases} x = a \sec\theta \cos\varphi \\ y = b\sec\theta \sin\varphi \\ z = c \tan \theta\end{cases}$ $\left( - \frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}, \ 0 \le \varphi \le 2\pi \right)$ | $\displaystyle \begin{cases} x = a \tan\theta \cos\varphi \\ y = b\tan\theta \sin\varphi \\ z = c \sec \theta\end{cases}$ $\left( - \frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}, \ 0 \le \varphi \le 2\pi \right)$ |
渐进锥面 / 椭圆锥面：对于双曲面，将常数项改为零，即可得到渐近锥面 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$.
4.7 单叶双曲面和双曲抛物面的直母线
直纹曲面：可以由一族直线构成的曲面，如柱面、锥面等。
直母线：构成曲面的那一族直线。
4.7.1 单叶双曲面的直母线
考虑做以下变换
$$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1\quad (a, b, c > 0)$$ $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 - \frac{y^2}{b^2}$$ $$\left(\frac{x}{a} + \frac{z}{c}\right)\left(\frac{x}{a} - \frac{z}{c}\right) = \left(1 + \frac{y}{b}\right)\left(1 - \frac{y}{b}\right)$$
| 单叶双曲面的 u 族直线 | 单叶双曲面的 v 族直线 |
|---|---|
| 考虑引入参数 $u$，可以将以上方程分解成三种直线： $$\begin{aligned}(1)\quad & \begin{cases}\displaystyle\frac{x}{a} + \frac{z}{c} = u \left(1 + \frac{y}{b}\right) \\ \displaystyle\frac{x}{a} - \frac{z}{c} = \frac{1}{u} \left(1 - \frac{y}{b}\right)\end{cases} \\ \\(2)\quad & \begin{cases}\displaystyle\frac{x}{a} + \frac{z}{c} = 0\\\displaystyle1 - \frac{y}{b}=0\end{cases} \quad (i.e.\ u \to 0)\\ \\(3)\quad & \begin{cases}\displaystyle\frac{x}{a} - \frac{z}{c} = 0\\\displaystyle1 + \frac{y}{b}=0\end{cases}\quad (i.e.\ u \to \infty)\end{aligned}$$ | 考虑引入参数 $v$，可以将以上方程分解成三种直线： $$\begin{aligned}(1)\quad & \begin{cases}\displaystyle\frac{x}{a} + \frac{z}{c} = v \left(1 - \frac{y}{b}\right) \\ \displaystyle\frac{x}{a} - \frac{z}{c} = \frac{1}{v} \left(1 + \frac{y}{b}\right)\end{cases} \\ \\(2)\quad & \begin{cases}\displaystyle\frac{x}{a} + \frac{z}{c} = 0\\\displaystyle1 + \frac{y}{b}=0\end{cases} \quad (i.e.\ v \to 0)\\ \\(3)\quad & \begin{cases}\displaystyle\frac{x}{a} - \frac{z}{c} = 0\\\displaystyle1 - \frac{y}{b}=0\end{cases}\quad (i.e.\ v \to \infty)\end{aligned}$$ |
| 考虑引入两个参数 $u,w$，可以简化为一个方程 $$\begin{cases}\displaystyle w\left(\frac{x}{a} + \frac{z}{c}\right) = u \left(1 + \frac{y}{b}\right) \\ \displaystyle u\left(\frac{x}{a} - \frac{z}{c}\right) = w \left(1 - \frac{y}{b}\right)\end{cases}$$ | 考虑引入两个参数 $v,t$，可以简化为一个方程 $$\begin{cases}\displaystyle t\left(\frac{x}{a} + \frac{z}{c}\right) = v \left(1 - \frac{y}{b}\right) \\ \displaystyle v\left(\frac{x}{a} - \frac{z}{c}\right) = t \left(1 - \frac{y}{b}\right)\end{cases}$$ |
两族直线不是一一对应的：
- 同族直线不相交、不平行、扭转分布。
- 任一 u 族直线和任一 v 族直线必交于曲面上一点；反过来，任意一点必定是某一 u 族直线和某一 v 族直线的交点。
- 一个偏左旋，一个偏右旋。（这样的说法有些不严谨）
- 单叶双曲面有且仅有这两族直线。
4.7.2 双曲抛物面的直母线
$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2z\quad(a,\ b > 0)$$ $$\left(\frac{x}{a} + \frac{y}{b}\right)\left(\frac{x}{a} - \frac{y}{b}\right) = 2z$$
| 双曲抛物面的 u 族直线 | 双曲抛物面的 v 族直线 |
|---|---|
| 考虑引入参数 $u$ $$\begin{cases}\displaystyle \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 2u \\ \displaystyle u\left(\frac{x}{a} - \frac{y}{b}\right) = z\end{cases}$$ | 考虑引入参数 $v$ $$\begin{cases}\displaystyle \frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 2u \\ \displaystyle u\left(\frac{x}{a} + \frac{y}{b}\right) = z\end{cases}$$ |
其他推论：
- 对于单叶双曲面与双曲抛物面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过这一点。
- 单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面，而双曲抛物面上异族的任意两直母线必相交。