3.1 平面的方程
平面上的一点和与此平面平行的两个不共线向量决定一张平面。 那么每个平面上的点可以唯一地表示为坐标 $(u, v)$.
| 一点与两方位向量 | 三点式 | 截距式 | |
|---|---|---|---|
| 向量式方程 | $\boldsymbol r = \boldsymbol r_0 + u \boldsymbol a + v \boldsymbol b$ | $\boldsymbol r = \boldsymbol r_1 + u(\boldsymbol r_2 - \boldsymbol r_1) + v(\boldsymbol r_3 - \boldsymbol r_1)$ | 取三点式中的 $\boldsymbol r_1(a, 0, 0), \boldsymbol r_2(0, b, 0), \boldsymbol r_3(0, 0, c)$ |
| 坐标式方程 | $\begin{cases} x = x_0 + ux_1 + vx_2 \\ y = y_0 + uy_1 + vy_2 \\ z = z_0 + uz_1 + vz_2\end{cases}$ | $\displaystyle \begin{cases} x = x_1 + u(x_2 - x_1) + v(x_3 - x_1) \\ y = y_1 + u(y_2 - y_1) + v(y_3 - y_1) \\ z = z_1 + u(z_2 - z_1) + v(z_3 - z_1) \\ \end{cases}$ | |
| 点位式方程 | 混合积 $(\boldsymbol r - \boldsymbol r_0, \boldsymbol a, \boldsymbol b) = 0$ 即 $\begin{vmatrix} x - x_0 & y - y_0 & z - z_0 \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} = 0$ | 混合积 $(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_1,\boldsymbol{r}_2-\boldsymbol{r}_1,\boldsymbol{r}_3-\boldsymbol{r}_1) = 0$， 即 $\begin{vmatrix}x-x_1 & y-y_1 & z-z_1\\x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1\\x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1\end{vmatrix}=0$ 或 $\begin{vmatrix}x & y & z & 1\\x_1 & y_1 & z_1 & 1\\x_2 & y_2 & z_2 & 1\\x_3 & y_3 & z_3 & 1\end{vmatrix}=0$ | $\begin{vmatrix}x-a & y & z\\-a&b&0\\-a&0&c\end{vmatrix}=0$ |
| 一般式方程 | 点位式方程展开得到 $A x + B y + C z + D = 0\ (ABC \ne 0)$ $$A =\begin{vmatrix}y_1 & z_1\\y_2 & z_2\end{vmatrix},B =\begin{vmatrix}z_1 & x_1\\z_2 & x_2\end{vmatrix},C =\begin{vmatrix}x_1 & y_1\\x_2 & y_2\end{vmatrix}$$$$D = - (A x_0 + B y_0 + C z_0)$$ | 截距式方程 $\displaystyle \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\ (abc \ne 0)$ |
一般式方程转点位式方程：不妨设 $A \ne 0$，则整体除以 $A$ 得到 $x + B y + C z + D = 0$，那么就有 $\displaystyle \begin{vmatrix}x + D & y & z \\ B & -1 & 0 \\ C & 0 & -1\end{vmatrix} = 0$，其中取的三点为 $\boldsymbol M_0 (-D, 0, 0), \boldsymbol a(B, -1, 0), \boldsymbol b(C, 0, -1)$.
定理：空间任意平面的方程是三元一次方程，任意一个三元一次方程表示空间的一个平面。
- 若 $D = 0$，等价于平面通过原点；
- 若 $A, B, C$ 有一个为 $0$，等价于平面平行于或者通过某个坐标轴；
- 若 $A, B, C$ 有两个为 $0$，等价于平面平行于或者就是某个坐标平面。
点法式方程：给定空间一点 $\boldsymbol r_0(x_0, y_0, z_0)$ 和法向量 $\boldsymbol n{A, B, C}$，可唯一确定过 $\boldsymbol r_0$ 且与 $\boldsymbol n$ 垂直的平面。
向量式点法式方程：$\boldsymbol n · (\boldsymbol r - \boldsymbol r_0) = 0$
坐标式点法式方程：$A (x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$
因此一般式方程中的一次项系数就是法向量的坐标分量. 如何求法向量：
- 若已知平面上三点，则求差向量并求叉积
- 若已知平行面，则取相同法向量
- 若已知垂直面，则法向量与垂直面的法向量垂直，即点积为 $0$.
法式方程：在点法式方程中，$\boldsymbol n$ 取单位向量 $\boldsymbol n^0{\cos \alpha, \cos \beta, \cos \theta}$ ，$\boldsymbol r_0$ 取平面与法向量的垂足，并令 $\boldsymbol r_0 = p \boldsymbol n^0$.
向量式法式方程：因此形式变成 $\boldsymbol n_0 · (\boldsymbol r - p \boldsymbol n_0) = 0$，即 $\boldsymbol n^0·\boldsymbol r - p = 0$
坐标式法式方程：$x \cos \alpha + y \cos \beta + z \cos \gamma - p = 0$
显然可见，一个平面只有一种法式方程的表示形式，但可能有无穷多种点法式方程的表示形式。
一般式方程转法式方程：除以法式化因子 $\lambda = - \operatorname{sign}(D) \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$ 即可，其中要使得常数项为负数。
3.2 平面与点的相关位置
点与平面的距离：一点与平面上的点的最短距离，即一点到其对平面作垂线的垂足的距离。
离差：一点 $P$ 对平面作垂线的垂足 $M$ 到该点的向量 $\overrightarrow{MP}$ ，在平面的单位法向量的射影。
- 离差的计算：
- 向量式：$\delta = \boldsymbol n^0 · \overrightarrow{MP} = \boldsymbol n^0 (\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OM}) = \boldsymbol n^0 · \overrightarrow{OP} - p$
- 坐标式：若已知法式方程以及 $P(x, y, z)$ 则 $\delta = x \cos \alpha + y \cos \beta + z \cos \gamma - p$
- 若 $P$ 位于 $\boldsymbol n^0$ 指向的半空间，则离差 $\delta = \left|\overrightarrow{MP}\right| > 0$；
- 若 $P$ 不位于 $\boldsymbol n^0$ 指向的半空间，则离差 $\delta = -\left|\overrightarrow{MP}\right| < 0$；
- 若 $P$ 在平面上，则离差 $\delta = 0$.
- 离差的绝对值为点到平面的距离。
- 若两点在平面一侧，则离差符号相同；若两点在平面异侧，则离差符号相反。
点与平面一般方程的距离：先将一般方程转法式方程（除以法式化因子），再计算离差，则 $$\begin{aligned}d &= |\delta| = |x \cos \alpha + y \cos \beta + z \cos \gamma - p|\\&=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\end{aligned}$$ 如果只知道一般方程，只计算 $Ax_0 + B_y + Cz_0 + D$，结合法式化因子，也由其正负判断在哪个半空间。
3.3 两平面的相关位置
| 两平面位置 | 判断方法（向量） | 判断方法（参数） |
|---|---|---|
| 相交 | $\boldsymbol n_1 \nparallel \boldsymbol n_2$ | $A_1 : B_1 : C_1 \ne A_2 : B_2 : C_2$ |
| 平行 | $\boldsymbol n_1 // \boldsymbol n_2, p_1 \ne p_2$ | $\displaystyle \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \ne \frac{D_1}{D_2}$ |
| 重合 | $\boldsymbol n_1 // \boldsymbol n_2,\ p_1 = p_2$ | $\displaystyle \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{D_1}{D_2}$ |
| 垂直 | $\boldsymbol n_1 · \boldsymbol n_2 = 0$ | $A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$ |
两平面夹角：平面夹角一般取 $[0, \pi]$，有两种互补的角，其余弦值互为相反数 $$\pm \cos \angle(\boldsymbol n_1, \boldsymbol n_2) = \pm \frac{A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$$
3.4 空间直线的方程
空间直线的标准方程（始点与方向向量）
向量式参数方程：$\boldsymbol r = \boldsymbol r_0 + t \boldsymbol v$
坐标式参数方程：$\begin{cases} x = x_0 + t X \\ y = y_0 + tY \\ z = z_0 + tZ \end{cases}$
以上，其中 $t$ 是参数，$\boldsymbol v$ 是方向向量。
消去参数 $t$ 可以得到 标准方程 / 对称式方程 / 点向式方程：$\displaystyle \frac{x - x_0}{X} = \frac{y - y_0}{Y} = \frac{z - z_0}{Z}$
其中 $X, Y, Z$ 及其成比例的一组数称为直线 $l$ 的方向数。
当方向数中的某些量为 $0$ 时，仍然写成分式形式，如：
- $\displaystyle \frac{x - x_0}{0} = \frac{y - y_0}{Y} = \frac{z - z_0}{Z}$，表示 $\displaystyle x = x_0,\ \frac{y - y_0}{Y} = \frac{z - z_0}{Z}$
- $\displaystyle \frac{x - x_0}{0} = \frac{y - y_0}{0} = \frac{z - z_0}{Z}$，表示 $x = x_0,\ y = y_0$.
方向角可以通过方向数计算：$$\cos \alpha = \pm \frac{X}{\sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2}},\cos \beta = \pm \frac{Y}{\sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2}},\cos \gamma = \pm \frac{Z}{\sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2}}$$ 前面的正负号要看方向角和向量是不是同向。
如果直接取方向向量 $\boldsymbol v_0 = { \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma}$，则 $\boldsymbol r = \boldsymbol r_0 + t \boldsymbol v_0$，则 $|t|$ 恰好是对应点到 $\boldsymbol r_0$ 的距离。
空间直线的一般方程（两平面交线）
空间直线可以看成两平面的交线 $\begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases}$
前提条件是两平面不平行：$\boldsymbol n_1 \times \boldsymbol n_2 = \left\{ \left|\begin{matrix} B_1 & C_1 \\ B_2 & C_2 \end{matrix}\right|, \left|\begin{matrix} C_1 & A_1 \\ C_2 & A_2 \end{matrix}\right|, \left|\begin{matrix} A_1 & B_1 \\ A_2 & B_2 \end{matrix}\right|\right\} \ne \boldsymbol 0$
标准方程转一般方程：不妨设方向向量中 $Z \ne 0$，那么可写成 $$\begin{cases} \displaystyle \frac{x - x_0}{X} = \frac{z - z_0}{Z} \\ \displaystyle \frac{y - y_0}{Y} = \frac{z - z_0}{Z} \end{cases}$$ 一般方程转标准方程：由于 $\boldsymbol n_1 \times \boldsymbol n_2 = \left\{ \begin{vmatrix} B_1 & C_1 \\ B_2 & C_2 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} C_1 & A_1 \\ C_2 & A_2 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} A_1 & B_1 \\ A_2 & B_2 \end{vmatrix}\right\} \ne \boldsymbol 0$，因此必有不为零的分量，这对应于矩阵相容。不妨设 $\begin{vmatrix} A_1 & B_1 \\ A_2 & B_2 \end{vmatrix} \ne 0$ ，相当于解关于 $x, y$ 的方程组 $$\begin{cases} A_1x + B_1y = -C_1z - D_1 \\ A_2x + B_2y = -C_2z - D_2 \end{cases}$$得到（不用记，只要知道是求解线性方程组即可） $$x = \frac{\begin{vmatrix} B_1 & C_1 \\ B_2 & C_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A_1 & B_1 \\ A_2 & B_2 \end{vmatrix}} z + \frac{\begin{vmatrix} B_1 & D_1 \\ B_2 & D_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A_1 & B_1 \\ A_2 & B_2 \end{vmatrix}},\quad y = \frac{\begin{vmatrix} C_1 & A_1 \\ C_2 & A_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A_1 & B_1 \\ A_2 & B_2 \end{vmatrix}} z + \frac{\begin{vmatrix} D_1 & A_1 \\ D_2 & A_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A_1 & B_1 \\ A_2 & B_2 \end{vmatrix}}$$ 为了简便，也就是说我们已经得到参数形式 $$\begin{cases}x=\alpha t + \beta \\ y = \gamma t + \delta \\ z = t\end{cases}$$ 容易得到标准方程 $$\frac{x - \beta}{\alpha} = \frac{y - \delta}{\gamma} = \frac{z}{1}$$