5.1 离散时间傅里叶变换
对于非周期信号 $x[n]$，我们将其周期延拓为周期为 $N \to \infty$ 的 $\tilde x[n]$，频率为 $\omega_0 = \displaystyle \frac{2\pi}{N}$.
$$a_k = \frac{1}{N}\sum_{n = -\infty}^{\infty} x[n] e^{jk\omega_0n} = \frac{1}{N} X(e^{jk\omega_0})$$ 其中 $\displaystyle X(e^{j\omega}) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} x[n] e^{j\omega n}$.
那么 $$x[n] = \frac{1}{2\pi}\sum_{k = \langle N \rangle} X(e^{jk\omega_0}) e^{jk\omega_0 n}\omega_0$$
离散时间傅里叶变换对：
- 傅里叶变换：$$X(e^{j\omega}) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n}$$
- 傅里叶反变换：$$x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{2\pi} X(e^{j\omega}) e^{j\omega n} \mathrm d\omega$$
常见信号的傅里叶变换：
| 信号 | 频谱 | 说明 |
|---|---|---|
| $x[n] = a^nu[n],, \lvert a\rvert<1$ | $\displaystyle X(e^{j\omega}) = \frac{1}{1-ae^{-j\omega}}$ | 模长是偶函数，相位是奇函数 |
| $x[n] = a^{\lvert n \rvert},, \lvert a \rvert < 1$ | $\displaystyle X(e^{j\omega}) = \frac{1-a^2}{1 + a^2 - 2a \cos \omega}$ | 实偶信号的傅里叶变换是实偶函数 |
| $x[n] = \delta[n]$ | $X(e^{j\omega}) = 1$ | $\delta [n]$ 中包括了所有的频率成分，且所有频率分量的幅度、相位都相同 |
| $x[n] = \begin{cases}1, & \lvert n \rvert\le N_1 \\ 0, & \lvert n \rvert>N_1\end{cases}$ | $\displaystyle X(e^{j\omega}) = \frac{\sin [2(N_1 + 1)\frac{\omega}{2}]}{\sin \frac{\omega}{2}}$ | 实偶信号的傅里叶变换是实偶函数 |
| $\displaystyle x[n] = \frac{W}{\pi} \text{sinc}\left(\frac{Wn}{\pi}\right)$ | $X(e^{j\omega}) = \begin{cases}1, & \lvert \omega \rvert<W \\ 0, & W<\lvert \omega \rvert\le \pi\end{cases}$ | 形成对偶关系 |
| $x[n] = 1$ | $\displaystyle X(e^{j\omega}) = 2\pi \sum_{l = -\infty}^{\infty}\delta(\omega - 2\pi l)$ | 方波信号在 $n \to \infty$ 的极限 |