子群
子群：一个群的子集，但是关于原来的群的运算也满足群的条件，称为 $H \le G$.
$H\subseteq G$ 关于 $G$ 的运算构成群当且仅当：
- $H$ 对 $G$ 的运算封闭
- $G$ 的单位元属于 $H$
- 存在逆元：$\forall a \in H,\ a^{-1}\in H$
派生概念：真子群、平凡子群、非平凡子群、中心
子群的交与并：
- 若 $H\le G,\ K\le G$，则 $H\cap K\le G$
- 若 $H \cup K \le G$，当且仅当 $H \subseteq K \lor K\subseteq H$
生成子群
生成子群：对于群的一个子集，包含这个子集的最小的子群就是生成子群。（有点像闭包的定义），记为 $\langle S\rangle$.
- 一个子集的生成子群总是包含它的子群的子集
- $\langle S \rangle = \bigcap \{H \mid S\subseteq H \land H \le G\}$
- 循环群：若 $\exists a \in G,\ G = \langle a \rangle$，则 $G$ 是由 $a$ 生成的循环群
- 空集的生成子群是单位元本身：$\langle \emptyset \rangle = \{e\}$
循环群
循环群：若 $\exists a \in G,\ G = \langle a \rangle$，则 $G$ 是由 $a$ 生成的循环群
- $\langle a^{-1}\rangle = \langle a \rangle$
- 群与阶：
- 对于有限群 $|G| = |a|$、
- 对于无限群可以直接取对数 $a^k=a^l\Leftrightarrow k=l$
- 对于 $n$ 阶循环群 $a^k=a^l \Leftrightarrow n \mid (k - l)$.
派生概念：生成元、无限循环群、$n$ 阶循环群
常见的循环群的例子：
- 整数加群： $\langle \mathbb Z, + \rangle = \langle 1 \rangle = \langle -1 \rangle$
- 模 $m$ 加群：$\langle \mathbb Z_m, \oplus_m\rangle = \langle 1 \rangle$
- 模 $m$ 乘法下的可逆元素 $\gcd(m,x) = 1$：$U(m)$，如 $U(5) = \langle 2\rangle = \langle 3\rangle$
- 当 $m = 1,2,4,p^k,2^k$ 时 $U(m)$ 才是循环群
- $|U(m)| = \varphi(m)$
- $U(m)$ 的生成元个数为 $\varphi(\varphi(m))$.
- 克莱因斯坦群：$\{e, a, b, c\}$，每个元素的逆元是自身，每两个元素乘积等于第三个元素
生成元：
- 对于无限循环群 $G = \langle a \rangle$，生成元只有两个 $a,\ a^{-1}$.
- 对于 $n$ 阶循环群 $G = \langle a \rangle$，生成元有 $\varphi(n)$ 个，且生成元必为 $\forall r,\ a^r, s.t.(n, r) = 1$. 证明 $$|a^r| = n \quad\Leftrightarrow\quad \frac{n}{(n, r)} = n \quad\Leftrightarrow\quad (n, r) = 1$$
- 对于 $n$ 阶循环群 $G =\langle a\rangle$，$\langle a^r \rangle = \langle a^{(n, r)}\rangle$
循环群的子群：
- 循环群的任意子群都是循环群。
- 对于无限循环群，它的全部子群集合为 $\{ \langle a^d \rangle \mid d = 0, 1, 2, \cdots \}$
- 对于 $n$ 阶循环群，它的全部子群集合为 $\{ \langle a^d \rangle \mid d \mid n\}$
Conclusion
群：
- 定义、逆元、消去律、重要例子（模加群、$U(m)$、置换群）
- 群元素、阶、阶的性质（$a^m = e \Leftrightarrow n \mid m$，$|a^r| = \frac{n}{(n, r)}$）
- 子群：封闭+单位元+逆元、$\forall a,b\in H,\ ab^{-1}\in H / a^{-1}b \in H$
- 循环群：$\langle a \rangle = \{ a^k \mid k \in \mathbb Z\}$，找所有生成元，
- 有限群 $a^r$ 是生成元 $\Leftrightarrow (n,r) = 1$，全部子群集合为 $\{ \langle a^d \rangle \mid d \mid n\}$
- 无限群 $a, a^{-1}$ 是生成元，全部子群集合为 $\{ \langle a^d \rangle \mid d = 0, 1, 2, \cdots \}$