多项式

多项式域：$\displaystyle D[x] = \left\{\sum_{i = 0}^n\ a_ix_i\mid n \in N^*,\ a_i \in D\right\}$

$x$ 为不定元
多项式本质为 $n$ 元向量
可定义相等、零多项式、首项、首项系数、次数
可定义加减乘运算、对应的运算定律、单位元、逆元
次数：$deg(f + g) \le \max \{deg (f), deg (g)\}$，$deg (f·g) = deg(f) + deg(g)$
满足乘法消去律
整除相关：整除、因式、倍式
相伴相关：伴元、相伴 $f \sim g \Leftrightarrow f(x) = ug(x),\ \exists u \in D$，平凡因子、真因子、不可约多项式
整除性质：自反性、传递性、广义反对称、整除与线性组合、相伴保持整除、整除与次数
带余数除法：$f = qg + r,\ 0\le deg(r) < deg(g)$，商式、余式
- 带余数除法具有唯一性
- 带余数除法只需除式的首项系数存在乘法逆元即可
同余相关：同余、剩余类、模加和模乘（及其交换律、分配律、单位元、逆元）、公因式、最大公因式、互素、裴蜀定理、完全剩余类系 $\Omega_m = \{f\mid deg(f)<deg(m)\}$

群的定义和基本性质

群：一个集合及其二元运算 $(G,\ \circ)$，满足：

群的运算满足的性质：

群的例子：

是：$(\mathbb Z, +)$，$(\mathbb Z_m, \oplus_m)$，$(\mathbb {Q^*/R^*/C^*},\times)$，整数矩阵及其加法、实数矩阵及其乘法、$S$ 上双函数/排列及其复合/轮换、与 $m$ 互质且 $<m$ 的整数与乘法、克莱因四元群
不是：$(\mathbb Z,\times)$

半群：一个集合及其满足结合律的二元运算，若有单位元则称 $(S, \circ, e)$ 是独异点

交换群 / 阿贝尔群：满足交换律的群，通常可以用 $+$ 表示运算，否则用 $\times$表示运算

阶：$|G|$，$G$ 的元素个数。分为有穷群和无穷群

群的幂运算

元素的阶：最小的正整数 $k$ 使得 $a^k = e$，则 $|a| = k$

若 $|a| = n$，则
- $a^m = e \Leftrightarrow n \mid m$
- $|a^{-1}| = n$
- $\displaystyle |a^m| = \frac{n}{(n, m)}$

群：结合律、单位元 $e$、逆元、消去律
$(a^{-1})^{-1} = a$、$(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$、$(a^n)^{-1}=(a^{-1})^n$、$a^na^m =a^{n+m}$、
阶：最小正整数 $n$ 使得 $a^n = e$、$|a| = n$
$a^m = e \Rightarrow n \mid m$、$|a| = |a^{-1}|$、$\displaystyle |a^r| = \frac{n}{(n, r)}$