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5.1 离散时间傅里叶变换

对于非周期信号 $x[n]$，我们将其周期延拓为周期为 $N \to \infty$ 的 $\tilde x[n]$，频率为 $\omega_0 = \displaystyle \frac{2\pi}{N}$.

$$a_k = \frac{1}{N}\sum_{n = -\infty}^{\infty} x[n] e^{jk\omega_0n} = \frac{1}{N} X(e^{jk\omega_0})$$ 其中 $\displaystyle X(e^{j\omega}) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} x[n] e^{j\omega n}$.

那么 $$x[n] = \frac{1}{2\pi}\sum_{k = \langle N \rangle} X(e^{jk\omega_0}) e^{jk\omega_0 n}\omega_0$$

离散时间傅里叶变换对：

傅里叶变换：$$X(e^{j\omega}) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n}$$
傅里叶反变换：$$x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{2\pi} X(e^{j\omega}) e^{j\omega n} \mathrm d\omega$$

常见信号的傅里叶变换：

信号	频谱	说明
$x[n] = a^nu[n],, \lvert a\rvert<1$	$\displaystyle X(e^{j\omega}) = \frac{1}{1-ae^{-j\omega}}$	模长是偶函数，相位是奇函数
$x[n] = a^{\lvert n \rvert},, \lvert a \rvert < 1$	$\displaystyle X(e^{j\omega}) = \frac{1-a^2}{1 + a^2 - 2a \cos \omega}$	实偶信号的傅里叶变换是实偶函数
$x[n] = \delta[n]$	$X(e^{j\omega}) = 1$	$\delta [n]$ 中包括了所有的频率成分，且所有频率分量的幅度、相位都相同
$x[n] = \begin{cases}1, & \lvert n \rvert\le N_1 \ 0, & \lvert n \rvert>N_1\end{cases}$	$\displaystyle X(e^{j\omega}) = \frac{\sin [2(N_1 + 1)\frac{\omega}{2}]}{\sin \frac{\omega}{2}}$	实偶信号的傅里叶变换是实偶函数
$\displaystyle x[n] = \frac{W}{\pi} \text{sinc}\left(\frac{Wn}{\pi}\right)$	$X(e^{j\omega}) = \begin{cases}1, & \lvert \omega \rvert<W \ 0, & W<\lvert \omega \rvert\le \pi\end{cases}$	形成对偶关系
$x[n] = 1$	$\displaystyle X(e^{j\omega}) = 2\pi \sum_{l = -\infty}^{\infty}\delta(\omega - 2\pi l)$	方波信号在 $n \to \infty$ 的极限
$x[n] = u[n]$	$\displaystyle X(e^{j\omega}) = \frac{1}{1 - e^{-j\omega}} + \sum_{k = -\infty}^{\infty} \delta(\omega - 2\pi k)$	分为奇偶信号

5.2 周期信号的傅里叶变换

对于离散时间周期信号，它对应的频域是周期性的冲激串：$$x[n] = e^{jk\omega_0 n} \quad \Leftrightarrow \quad X(e^{j\omega}) = \sum_{l = -\infty}^{\infty} 2\pi \delta(\omega - k \omega_0 - 2\pi l)$$ $$x[n] = \sum_{k = \langle N \rangle}e^{jk\omega_0 n} \quad \Leftrightarrow \quad X(e^{j\omega}) = 2\pi \sum_{k = -\infty}^{\infty} a_k \delta(\omega - k \omega_0)$$

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8.1 引言

需要用二阶微分方程表征其特征的电路就叫二阶电路。

通常会有两个（无法等效合并的）非线性元件。

8.2 初始值和终值的确定

需要获得 $\displaystyle v(0), i(0), \frac{\mathrm dv(0)}{\mathrm dt}, \frac{\mathrm di(0)}{\mathrm dt}, i(\infty), v(\infty)$.

对于电容 $v_c(0^+) = v_c(0^-)$；对于电感 $i_L(0^+) = i_L(0^-)$.

对于电感，由 $\displaystyle v = L\frac{\mathrm di}{\mathrm dt}$ 得到 $\displaystyle \frac{\mathrm di(0)}{\mathrm dt} = \frac{v(0)}{L}$.

对于电容，由 $\displaystyle i = C\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}$ 得到 $\displaystyle \frac{\mathrm dv(0)}{\mathrm dt} = \frac{i(0)}{C}$.

8.3 无源激励 RLC 串联电路

列 KVL 可得二阶常系数齐次微分方程 $$Ri + L \frac{\mathrm di}{\mathrm dt} + \frac{1}{C}\int_{-\infty}^t i \mathrm dt = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{\mathrm d^2 i}{\mathrm dt^2} + \frac{R}{L} \frac{\mathrm di}{\mathrm dt} + \frac{i}{LC} = 0\quad \text{或}\quad \frac{\mathrm d^2 v}{\mathrm dt^2} + \frac{R}{L}\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt} + \frac{v}{LC} = 0$$ 特征方程 $$s^2 + \frac{R}{L}s + \frac{1}{LC} = 0$$ 令 $\displaystyle \alpha = \frac{R}{2L}\ (Np/s),\ \omega_0 = \sqrt{\frac{1}{LC}}\ (rad/s)$，则 $$s_{1,2} = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}\quad (Np/s)$$

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5.1 离散时间傅里叶变换

5.2 周期信号的傅里叶变换

8.1 引言

8.2 初始值和终值的确定

8.3 无源激励 RLC 串联电路